18成角问题.doc

高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-18):成角问题(332) 847 成角问题 [母题]Ⅰ(14-18):(折叠角公式)如图,AB为平面α的斜线, B为斜足,AH垂直平面α于H点,BC为平面α内的直线,∠ABH=θ,∠HBC=α, ∠ABC=β,则cosβ=cosαcosθ. [解析]:设过H点作HD垂直BC于D点连AD,则BC⊥AD;在Rt△ABH中,有cosθ=,在Rt△BHD中,有cosα= cosαcosθ==,在Rt△ABD中,有cosβ=cosβ=cosαcosθ. [点评]:本题中的结论就是署名的折叠角公式,由此结论易知:①斜线与平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角(最小角定理);②若平面的斜线与平面所成角为θ,则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为[θ,]. [子题](1):(2010年四川高考试题)如图,二面角α-l-β的大小是600, 线段ABα,B∈l,AB与l所成的角为300.则AB与平面β所成的角的正弦 值是 . [解析]:过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足 为D,连结AD,有三垂线定理可知AD⊥l,故∠ADC为二面角α-l-β的平面角, 为600,又由已知,∠ABD=300,连结CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角; 设AD=2,则AC=,CD＝sin∠ABC==. 注:成角问题在高考中的表现形式是线线角、线面角、面面角的结合,解决该类问题的根本方法是作出题中相应角的平面角. [子题](2):(2008年四川高考试题)若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为600的菱形,则该棱柱的体积为( ) (A) (B)2 (C)3 (D)4 [解析]:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,由条件知∠AA1B1=∠AA1C1=600, △A1B1C1是正三角形∠C1A1B1=600,作AO⊥底面A1B1C1于点O,则点O 在∠C1A1B1的平分线上∠B1A1O=300;由折叠角公式:cos∠AA1B1= cos∠AA1Ocos∠B1A1Ocos600=cos∠AA1Ocos300cos∠AA1O= sin∠AA1O=AO=AA1sin∠AA1O=三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=22sin600=2.故选(B). 注:折叠角公式揭示了线线角与线面角内在的本质联系,在求线线角与线面角中具有广泛的应用. [子题](3):(三面角的余弦定理)在三面角A-BCD中,∠BAC=α,∠CAD=β,∠DAB=γ,二面角B-AC-D=θ,则cosθ= . [解析]:不失一般性,不妨假定面BCD⊥棱AC,则∠BCD=θ,设AC=m, 则BC=mtanα,AB=,CD=mtanβ,AD=,在△ABD和△BCD 中, 848 [母题]Ⅰ(14-18):成角问题(332) 分别应用余弦定理得:BD2=+-2cosγ,BD2=m2tan2α+m2tan2β-2mtanαmtanβcosθ +-2cosγ=m2tan2α+m2tan2β-2mtanαmtanβcosθ+-2= tan2α+tan2β-2(-tan2α)+(-tan2β)=2-2- =1cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθcosθ=. 注:此公式与三角形中的余弦定理有相似之处,因此把它叫做三面角的余弦定理;①当θ=900时,即为折叠角公式;②三面角的余弦定理揭示了线线角与二面角内在的本质联系. [子题系列]: 1.(1996年全国高考试题)如图,正方形ABCD所在平面与 正方形ABEF所在平面成600的二面角,则异面直线AD与 BF所成角的余弦值是 . 2.(1989年全国高考试题)如图,P是二面角α-AB-β棱AB上的一点, 分别在α,β上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=450,∠MPN=600,那么 二面角α-AB-β的大小是 . 3.(20