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第一讲:高斯函数 1 第一讲:高斯函数 高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容. 定义:[x]表示不超过实数x的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α1),这里,[x]称为x的整数部分,而α,即x-[x]称为x的小数部分,记{x}=x-[x]. 函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1); ②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为: ③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x1≤x2时,有[x1]≤[x2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数; 等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x∈R,n∈Z;②[-x]=;③若n∈N+,x∈R,则[]=[x],特别地,[]=[],[]=[](证明:由x-1[x]≤x[x]n[x]≤nxn([x]+1)[x]≤[][x]+1[]=[x]) 不等性质:①若x∈R,则x-1[x]≤x[x]+1;②若x,y∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若xi∈R,则[]≥,特别地,[nx]≥n[x],[]≥n[];③若x,y∈R+,则[xy]≥[x][y],特别地,≥[],一般地,若xi∈R+,则[]≥,特别地,[xn]≥[x]n,[x]≥[]n; 厄米特恒等式:若x∈R,n∈N6,则[x]+[x+]+[x+]+…+[x+]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+]+[x+]+…+[x+])f(x+)=[nx+1]-([x+]+[x+]+…+[x+ ]+[x++])=[nx]+1-([x+]+[x+]+…+[x+]+[x]+1)=f(x)f(x)是一个以为周期的周期函数,而当x∈[0,]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质: [例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a的取值范是 (其中[x]表示不超过x的最大整数). [解析]:设x+a=n+α,其中,n∈Z,0≤α1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0a时,由-a≤α-a1-a,因|1-a||-a|f(x)无最大值;②当a≥时,由-a≤α-a1-a,因|1-a|≤|-a|f(x)有最大值.故a的取值范是[,+∞). [练习1]: 2 第一讲:高斯函数 1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=-,且[m]表示不超过m的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 . 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=,其中[x]表示不超过x的最大整数,若f(x)=kx+k(k0)有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是 . 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,xk=xk-1+1-5[]+5[],yk=yk-1+[]-[].其中,[a]表示实数a的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 2.求值问题: [例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[]的末两位数是_______. [解析]:由[]=[]=[(1031)2-1031×3+32-]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8末两位数是08. [练习2]: 1.(2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 []-2c除以7的余数,其中,c表示年的前两位数字(即世纪),y表示年的后两位数字,d表示日,m表示月对应的数字(见表). [x]表 示不 于x的最大整数.则2008年6月18日是星