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第二部分 不定积分、定积分、二重积分 上册（共三章） 知识要点： 一、基本积分公式 还有几个常用的衍生公式（如遇此问题直接用这些公式即可）： Eg: ⑴求 解：根据基本积分公式 ⑵求 解：根据基本积分公式即可得 ⑶求 解：根据基本积分公式 即可得： ⑷求 解： ⑸求 ⑹求 解： ⑺求 解： ⑻求 解： ⑼求 解： ⑽求 解： ⑾求 解： ⑿求 解： 二、第一类换元法——即拼凑法，就是把复杂的积分式拼凑成简单的基本积分公式，然后再积分。 Eg: ⑴ 求 解：是复合函数，看到时马上就可以联想到函数，但函数求导得，但要多出一个2，就在积分式的前面乘上一个即可： ⑵求 解：和基本积分公式类似，故应该把所求积分式想办法化成该基本积分式，求导时要多出一个2，就应该在积分式前面乘以。 ⑶求 解：该式子不能直接看出其基本积分式，用换元方法进行计算 令，再对等式两边进行求导可得： 再把代入上式即可，得： ⑷求 解：的积分式可以直接看出，不用像上题一样用同样的方法。求导就得，正好同已知的那样 即：= ⑸求 设，对两边分别求导有 ⑹求 解： ⑺求 解：由于 所以： ⑻求 解：在解高次的三角函数积分时，都要把高次化为低次，有些不能一下子就能化简单，要多化几次，直到化为低次为止 ⑼求 解： ⑽求 ⑾求 ⑿求 解： ⒀求 解： ⒁求 利用三角函数的和差化积公式： 所以： 于是： 三、第二类换元法——只有三种形式 第一种：若存在时，就令 第二种：若存在时，令 第三种：若存在时，令 Eg:⑴求 解：由于存在，故用第二种方法进行换元令 为了把换成的函数，根据做三角形可得： 所以：，其中 ⑵求 解：存在，用第三种方法进行换元令 所以 其中 所以 ⑶求 解：令 四、分部积分法 Eg：⑴求 解：把积分代替，则有： ⑵求 解：把积分代入，则有： ⑶求 解：把积分代入，则有： 其中，继续上题的步骤，得： ⑷求 解：把积分代入得： ⑸求 解：再把积分代入得： ⑹求 解： ⑺求 解 ⑻求 解： 所以 ⑼求 解：令 所以 由前面的结果可知： 定积分 五、牛顿—莱布尼茨公式 六、四个重要的定积分的导公式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 七、几个重要公式，遇此问题时，可以直接运用 ⑴若在上连续且为偶函数，则 ⑵若在上连续且为奇函数，则 ⑶若函数在上连续，则 ⑷若函数在上连续，则 ⑸若，则 Eg:⑴求 解： ⑵求 解： ⑶求 解： ⑷求 解：珞必达法则 八、换元法和分部积分法 换元法——即令积分函数等于某些等值符号，让积分运算更简单。 分部积分法——即在 Eg:⑴ 解：令 则，当 原式 ⑵求 令 原式 ⑶求 解： 原式 分部积分法举例： ⑴计算 解： ⑵求 解：先把用，代换出来 原式= 九、反常积分——即当时或者当是的积分 反常积分可分为发散的和收敛的，当该种积分收敛时，必须用 或者来求解；当发散时，就说是发散的，一般题要求我们求解的都是收敛的，否则就会违背出题人的意图。 Eg:⑴计算反常积分 解： 如果函数在点的任一领域内都无界，那么点称为函数的瑕点（也称为无界间断点），无界函数的反常积分又称为瑕积分。 求反常积分 解：积分上限为，且下限为被积分的的下限。 令，当时，了；当时， 则有： 再令 所以 ⑵计算反常积分 解: ，所以点是瑕点 十、定积分的几何运用——即求函数与相关的轴或线围成面积或体积。 面积：直角坐标系 极坐标系中的计算不做要求 体积：旋转体 平行截面面积为已知的立体的体积（也不做要求） 平面曲线的弧长：不作要求 Eg:⑴计算由两条抛物线：所围成的图形的面积 两条抛物线联立求解 可知图形在直线之间 所以： ⑵计算抛物线与直线所围成的图形的面积 解： 在轴上图形在直线之间 ⑶连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转一周构成的一个底半径为、高为的圆锥体，计算这圆锥的体积。 过原点及点的直线方程为 所以 下册——二重积分 二重积分的算法 ㈠直角坐标系下的算法： 上式即为先对积分然后对积分的二重积分。 上式即为先对积分然后对积分的二重积分。