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高考专题解读——函数、导数、方程与不等式 唐小荣（重庆市渝西中学）函数、导数、方程、不等式函数、方程、不等式历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点，且常考常新.这一部分试题呈现出设计新颖灵活思维力度增大运算量减小的特点纵观近三年的全国及各省、市高考试题，通常以小题的形式考查函数的性质，不等式的性质、解法及函数、方程思想的运用，而在解答题中，则往往是在知识的交汇点处，从更高的层次、从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查，特别是利用导数作为工具，考查函数、方程、不等式的综合应用已成为高考的又一热点，的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律. （3）理解掌握反函数的概念，明确反函数的意义及一些常见符号的意义，掌握求反函数的方法步骤，理解反函数与原函数的关系等. （4）理解掌握指数函数、对数函数的概念、图象及性质，能运用性质熟练地进行大小比较、方程求解等. （5）掌握导数的概念，会求函数的导数，会用导数的方法判定或证明函数的单调性，会求函数的极值和最值，会用导数解一些实际问题. （6）理解不等式的性质及其证明，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的证明，掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. （7）掌握简单不等式的解法，理解不等式． 2.函数、导数、方程与不等式的难点是: （1）函数、反函数的概念，函数思想、数形结合思想的灵活运用. （2）培养建立函数模型、解决实际问题的应用意识. （3）利用放缩法证明不等式，函数、数列、不等式、解析几何的综合. （4）利用导数证明函数单调性进而证明不等式恒成立问题，关键是如何构造相关函数，这是近几年高考压轴题中的一类较典型的问题． 三、具体解说 1.函数 函数是高中数学中十分重要的内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿了整个中学数学的一根主线.具有概念性强，内容丰富，与其他知识（特别是方程、不等式、导数等知识）联系广泛等特点.函数思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融会了待定系数法、配方法、换元法、反证法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想. 函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势注意函数的图平移、伸缩变换与对称变换函数的对称性与函数值的变化趋势函数的最值与反函数的新题型函数与导数的结合是高考的热点题型，三次函数命题与数列、不等式、解析几何综合有特色的试题，也应加以重视不等式方程、不等式是中学数学的基础和重要内容，是数学学科的工具.所以它有着广泛的应用性，是培养学生数学能力和应用意识的重要素材.不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）证明不等式比较大小不等式的应用不等式的综合性问题选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式解答题与其知识的交汇中考查含参量不等式的解法数列、函数的不等式证明的定义域为（ C ）. A． B． C． D． 考查点：函数的定义域、解不等式． 分析：由函数定义域的定义得出不等式组，然后解不等式组．关键要熟练掌握基本初等函数的定义域． 例2.函数（）的反函数是 （ A ） A．（）　　 B.（） C.（） 　　 D.（） 考查知识：求函数的反函数． 切入点：求反函数的一般步骤． 例3.函数的图像关于（ C ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D． 直线对称 考查知识：函数的奇偶性． 例4.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ D ）. A．2 B． C． D． 考查知识：导数的应用——切线，两直线垂直的充要条件． 分析:关键要会求分式函数的导数，运用两直线垂直的充要条件列出方程． 2.导数的应用 例5．设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 解：（Ⅰ）． 当（）时，，即； 当（）时，，即． 因此在每一个区间（）是增函数， 在每一个区间（）是减函数． （Ⅱ）令，则 ． 故当时，． 又，所以当时，，即． 当时，令，则． 故当时，．因此在上单调增加． 故当时，，即． 于是，当时，． 当时，有．因此，的取值范围是． 命题意图：利用导数判断函数的单调性，并构造函数，从而利用单调性求参数范围． 思考：因是周期函数，故只需考查在区间成立，又在区间上为增函数，在区间上为减函数，故只需考查在区间满足，而根据切线的定义，找出在原点的切线即可， 由（1）知得，因此，的取值范围是． 当然这样有点欠完整，但很容易找出正确答案，再行解答即可． 例6．已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 解：（Ⅰ）因为，所以