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2D四杆桁架结构的有限元分析实例

实例:2D四杆桁架结构的有限元分析 学习有限元方法的一个最佳途径,就是在充分掌握基本概念的基础上亲自编写有限元分析程序,这就需要一个良好的编程环境或平台。MATLAB软件就是这样一个平台,它以功能强大、编程逻辑直观、使用方便见长。将提供有限元分析中主要单元完整的MATLAB程序,并给出详细的说明。 1D杆单元的有限元分析程序(Bar1D2Node) 最简单的线性杆单元的程序应该包括单元刚度矩阵、单元组装、单元应力等几个基本计算程序。下面给出编写的线性杆单元的四个MATLAB函数。 Bar1D2Node _Stiffness(E,A,L) 该函数计算单元的刚度矩阵,输入弹性模量E,横截面积A和长度L,输出单元刚度矩阵k(2×2)。 Bar1D2Node _Assembly(KK,k,i,j) 该函数进行单元刚度矩阵的组装,输入单元刚度矩阵k,单元的节点编号i、j,输出整体刚度矩阵KK。 Bar1D2Node _Stress(k,u,A) 该函数计算单元的应力,输入单元刚度矩阵k、单元的位移列阵u(2×1)以及横截面积A计算单元应力矢量,输出单元应力stress。 Bar1D2Node_Force(k,u) 该函数计算单元节点力矢量,输入单元刚度矩阵k和单元的位移列阵u(2×1),输出2×1的单元节点力矢量forces。 基于1D杆单元的有限元分析的基本公式,写出具体实现以上每个函数的MATLAB程序如下。 %%%%%%%%%%% Bar1D2Node %% begin %%%%%%%%% function k=Bar1D2Node_Stiffness(E, A, L) %该函数计算单元的刚度矩阵 %输入弹性模量E,横截面积A和长度L %输出单元刚度矩阵k(2×2) %--------------------------------------- k=[E*A/L -E*A/L; -E*A/L E*A/L]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function z=Bar1D2Node_Assembly(KK,k,i,j) %该函数进行单元刚度矩阵的组装 %输入单元刚度矩阵k,单元的节点编号i、j %输出整体刚度矩阵KK %----------------------------------- DOF(1)=i; DOF(2)=j; for n1=1:2 for n2=1:2 KK(DOF(n1), DOF(n2))= KK(DOF(n1), DOF(n2))+k(n1, n2); end end z=KK; %------------------------------------------------------------ function stress=Bar1D2Node_Stress(k, u, A) %该函数计算单元的应力 %输入单元刚度矩阵k, 单元的位移列阵u(2×1) %输入横截面积A计算单元应力矢量 %输出单元应力stress %----------------------------------- stress=k*u/A; %----------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function forces=Bar1D2Node_Force(k, u) %该函数计算单元节点力矢量 %输入单元刚度矩阵k和单元的位移列阵u(2×1) %输出2×1的单元节点力分量forces %----------------------------------------- forces=k*u; %%%%%%%%%%% Bar1D2Node %% end %%%%%%%%% 【四杆桁架结构的有限元分析数学推导】 如图所示的结构,各杆的弹性模量和横截面积都为E=29.54×10N/mm2, A=100mm 2,试求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。 图 四杆桁架结构 解答:对该问题进行有限元分析的过程如下。 (1) 结构的离散化与编号 对该结构进行自然离散,节点编号和单元编号如图所示,有关节点和单元的信息见表1表3。 表1 节点及坐标表2 单元编号及对应节点表3 各单元的长度及轴线方向余弦 节点 x y 单元 节点 节点2 单元 l xn yn 1 0 0 ① 1 2 ① 400 1 0 2 400 0 ② 3 2 ② 300 0 -1 3 400 300 ③ 1 3 ③ 500 0.

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