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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-54):圆与曲线相切(472) 1207 圆与曲线相切 [母题]Ⅰ(17-54):(原创题)若圆与二次曲线有交点,则圆与二次曲线相切的充要条件是在交点处有相同的切线. [解析]:以抛物线C:y2=2px(p0)为例:设交点P(,t),圆心M(a,b),则圆M:(x-a)2+(y-b)2=(-a)2+(t-b)2;所以,圆M 与抛物线C切线恰有一解x=,y=t(-a)2+(y-b)2=(-a)2+(t-b)2有重根y1=y2=t(利用综合除法)+(y-t)(y+t-2b)=0恰有重根y1=y2=t(y+t)(y2+t2-4pa)+4p2(y+ t-2b)=0在根y=tb=kMP=-圆M在P处的切线斜率k圆=(易知抛物线C在P处的切线斜率=)在交点处有相同的切线.同理可证其它. [点评]:圆与二次曲线相切可类似于直线与曲线相切的定义:设直线AP与曲线C交于A、P两点,A是定点、P是动点,当动点P沿着曲线C无限接近A时,直线AP的极限位置AT叫做曲线C在A处的切线,切点A是切线与曲线C的两重合的交点,即切线方程代入曲线C方程所得一元方程有两重根;所以,圆与二次曲线相切圆的方程与二次曲线方程联立的方程组有两重解,由此可领悟本母题;圆与二次曲线相切在教材中没有涉及,但高考中早已出现,如1980年全国(付)高考试题.这是我们构造该母题的直接动因之一;动因之二是她可拓展到两曲线相切: 两曲线相切的定义:曲线C1与C2有公共点,且在该点处的切线相同,则称曲线C1与C2在该点处相切. 两曲线相切定理:曲线C1:y=f(x)与C2:y=g(x)相切于点P(x0,y0); [子题](1):(2011年重庆高考试题)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所组成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为 . [解析]:如图,若圆C的半径取到最大值,则圆C与抛物线y2=2x、直线x=3同时相切,设切点 A(2a2,2a),圆心C(c,0)(0c3),则抛物线在A处的切线斜率k=1/2a,由抛物线与圆C在点A处 有相同的切线圆C在点A处的切线斜率k=1/2a;又由kkCA=-1c=2a2+1;由圆C的半径r=3-c=|CA|(3-c)2=(2a2-c)2+ (2a)28-6c+c24a28-6c+c2=2(c-1)c=4-r=3-c=-1. 注:本题是封闭区域内所能含的圆的最大半径问题在高考中出现的第一题,由几何直观知,当且仅当圆与区域的某些边界相切时,圆的半径取到最大值;所以,该类问题或转化为圆与直线相切,或转化为圆与曲线相切. [子题](2):(2011年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)在区域中,所能含的圆的最大半径为 . [解析]:若圆M的半径取到最大值,则圆M与y轴及椭圆C:+y2=1同时相切,设切点P(3cosθ,sinθ)(0θ),圆心M(m,0)(0m3),则椭圆C在P处的切线:x+ysinθ=1切线斜率k=-cotθ;由椭圆C与圆M在点P处有相同的切 1208 [母题]Ⅰ(17-54):圆与曲线相切(472) 线圆M在点P处的切线斜率k=-cotθ;又由kkMP=-1m=cosθ;由圆M的半径r=m=|MP|8cos2θ+1-6mcosθ=0 8cos2θ-1=0cosθ=m=所能含的圆的最大半径为. 注:本题是封闭区域内所能含的圆的最大半径问题在我国中学生数学竞赛中出现的第一题,由该题可归纳总结该类问题的解题程序是:①设出切点P和圆心M;②求曲线在切点P处的切线斜率k,并根据母题知,圆M在切点P处的切线斜率也为k,故有kkMP=-1;③由几何直观列举关于圆M的半径r的一个等式.由此解决问题. [子题](3):(1980年全国(付)高考试题)求抛物线y=x2上的点,使它到点P(0,6)的距离最短,这个最短距离是多少？ [解析]:以点P(0,6)为圆心,r为半径作圆P,使得圆P与抛物线y=x2相切于点A(a,a2)(a0),则抛物线在A处的切线斜率k=2a圆P在A处的切线斜率k=2a;由kkPA=-12(a2-6)=-1a=A(,)r=|PA|=