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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-54):模型思想(368) 959 模型思想 [母题]Ⅰ(14-54):(2011年上海春招试题)有一中多面体的饰品, 其表面由6个正方形和8各正三角形组成(如图),AB与CD所成的角的大小是 . [解析]:如图,该多面体是以正方体的各棱中点为顶点的多面体,AB与CD分别 平行于正方体的两条相交的面对角线AB与CD所成的角=600. [点评]:在长方体(含正方体)中,作出符合题意的几何体,然后在长方体中研究题中几何体,这种思想方法,在解决立体几何问题中具有普通性、创造性、简捷性,我们称之为模型思想.任意几何体都可以嵌入长方体中,将几何体嵌入长方体中,可以增加空间感,突显线面位置关系,揭示问题本质,扩大解题空间,寻找本质解法,长方体是所有几何体的母体. [子题](1):(2010年江西高考试题)如图,在三棱锥O-ABC中,三条棱OA,OB,OC两两 垂直,且OAOBOC,分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次 为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系为 . [解析]:设OA=a,OB=b,OC=c,作长方体如图,过棱OA的截面平分三棱锥的体积,当且仅当截面 平分△OBC的面积,当且仅当截面过BC的中点S1=a=;同理可得 S2=,S3=;由abcS1S2S3. 注:把四面体放置到平行六面体(含长方体)中,是研究四面体绝妙的模型思想. [子题](2):(2010年全国Ⅰ高考试题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=900,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) (A)300 (B)450 (C)600 (D)900 [解析]:由∠BAC=900,AB=AC=AA1,则直三棱柱ABC-A1B1C1中可补形为正方体ABDC-A1B1D1C1,由BA1∥DC1,∠AC1D=600BA1与AC1所成的角=600.故选(C). 注:把三棱柱补形为四棱柱是研究三棱柱的有力手段,是模型思想的具体运用. [子题](3):(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设平面α外一定点P到α的距离为h,α上的三个动点A、B、C到P的距离分别为a、b、c,并且∠PBA=900.则△ABC面积的最大值为 (用a、b、c、h表示). [解析]:构造长方体模型P-ABH,其中,PH⊥平面ABC于H,由PB=b,PA=a,∠PBA=900AB=,BH=,CH= C到直线AB的最大距离=BH+CH=+△ABC面积的最大值为(+). 注:在长方体(含正方体)中,作出符合题意的点、线、面是解决有关点、线、面问题的基本模型思想. [子题系列]: 1.(2008年复旦大学保送生考试试题)棱长为1的正四面体ABCD中,点M和N分别是边AB和CD的中点,则线段MN的长度为( ) (A) (B) (C) (D)2 2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点,在这样的一个四面体中,直角三角形最多有( ) 960 [母题]Ⅰ(14-54):模型思想(368) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3.(2009年复旦大学保送生考试试题)半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球,则小球半径r可能的最大值是( ) (A)R (B)R (C)R (D)R 4.(2014年全国高中数学联赛福建初赛试题)在三棱锥D-ABC中,AB=BC=2,AB⊥BC