9-1_二重积分的概念性质计算.ppt

第一节 二重积分的概念与性质 问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 4. 二重积分的计算（直角坐标系） 作 业 习题9-2 作 业 习题9-1 2 ； 5(1)（3） 1. 直角坐标系下二重积分的计算. 由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)?0时, 类比一下，能否利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法来计算曲顶柱体的体积？ 体积 x y 0 a x A(x) 四、二重积分的计算 回忆，平行截面面积为已知 的几何体体积的计算方法 . 曲顶柱体的体积 . 曲顶柱体的体积 (1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a, x=b　及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x)围成. 如图 即, D: y1(x)? y ? y2(x), a ? x ? b 称为X—型区域. 特别情形是 A、B退缩成一点, E、F退缩成一点. x y 0 A B E F D y = y1(x) y = y2(x) a b 故 右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分(累次积分). 计算原则: 由里到外. 　　　　　即先将x 看作常数, 以y 为积分变量, 求里层积分. 　　　　　　　　　得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式, 再求外层积分(以x为积分变量). 注1. 公式 虽是在条件 f (x, y) ? 0下得到的, 但对一般的 f (x, y)都成立, 只须D是 X—型区域即可. 注2. 习惯上常将右端的二次积分记作 即 (2)类似, 若D: x1(y)? x ? x2(y), c ? y ? d, 称为 Y —型区域, 则二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分. 即 x y 0 d c E F x=x2(y) x=x1(y) D (3)若D既是 X—型区域, 又是 Y—型区域. 比如 x 0 y x 0 y x 0 y 则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分. 等等, 当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算. 此时, (4)若D的形状较复杂, 既不是 X—型区域, 也不是 Y—型区域. x y 0 D1 D2 D3 D 则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块, 使每一块或为X—型, 或为 Y—型, 分块积. 如图 * 第九章 重积分 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。 当人们把定积分解决问题的基本思想——“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。 具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。 本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 对 D 进行分割： 小曲顶柱体 曲顶柱体的体积 (底面积) (高) 小曲顶柱体的体积 . . 小平顶柱体体积为： 近似代替 曲顶柱体的体积 ２．求非均匀平面薄片的质量 分割薄片成若干小块， 将各小块近似看作均匀薄片， 所有小块质量近似之和近似等于薄片总质量M, 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素