9-7空间向量在立体几何中的应用.ppt

重点难点 重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空间的角、距离 难点：将立体几何问题转化为向量问题． 知识归纳 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的直线(或平面)，比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系，用坐标法通过坐标运算来解决． 2．基向量法 如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决． 二、空间中的角 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小． 1．异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得．而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得． 2．平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的，这个角就是斜线和平面所成的角． 3．作二面角的平面角的常用方法有： (1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角． (2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)． (3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角． 三、空间的距离 1．(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度． (2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度． (3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度． 连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短． (4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度． (5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度． (6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度． (7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度． 2．求距离的一般方法和步骤 求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是： ①找出或作出有关距离的图形； ②证明它符合定义； ③在平面图形内计算． 空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法． 四、平面的法向量 1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 误区警示 1．建立坐标系一定要符合右手系原则． 2．平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起着关键作用，要注意向量的夹角与各种角的联系与区别． 一、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证；⑤转化为几何结论． 二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b. (1)l1∥l2或l1与l2重合?a∥b?存在实数t，使a＝tb. (2)l1⊥l2?a⊥b?a·b＝0. 2．用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量． (1)l∥α或l?α?存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2?a·n＝0. (2)l⊥α?a∥n?存在实数t，使a＝tn. 3．用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面α、β的法向量分别为n1、n2. (1)α∥β或α与β重合?n1∥n2?存在实数t，使n1＝tn2. (2)α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0. 若v1、v2是与α平行的两个不共线向量，n是平面β的法向量． 则①α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β?存在实数λ、μ，对β内任一向量a，有a＝λv1＋μv2. 三、用向量法求空间的角 1．求异面直线所成的角 设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补， [例1]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. (2)证明直线l∥平面α时， ①可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·