§21 数列极限的概念与性质.ppt

2.1.3 数列极限的几何解释 极限 的几何解释： . n O an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 上图说明对任意给定的两平行线 与 ，一定可以找到正整数 ，对于 的所有点 均落在这两条平行线之间． §2.1 数列极限的概念与性质 数列极限算术定义 数列极限的基本性质 重点回顾 2.1.2 数列极限算术定义 成立． 定义2.1.2　 对于数列 ， 若存在常数 ， 对于任意给定 的正数 ， 均存在正整数 ， 当 时， 恒有 若上述常数不存在，则称数列 则称 常数 称为 该数列的 ， 记为 或 数列 存在极限（或收敛）， 不存在极限（或发散）． 极限 极限“ ”定义简洁形式： 当 时，恒有 2.1.4 数列极限的基本性质 （惟一性）设数列 存在极限，则极限惟一，即若 且 ，则一定有 ． 定理2.1.1 （有界性） 若数列 存在极限， 则该数列 一定有界, 即存在正常数 ， 使得 定理2.1.2 2.1.4 数列极限的基本性质 （惟一性）设数列 存在极限，则极限惟一，即若 且 ，则一定有 ． 定理2.1.1 证 （有界性） 若数列 存在极限， 则该数列 一定有界, 即存在正常数 ， 使得 定理2.1.2 证 定理2.1.3　 设数列 存在极限 ， 且 ， 则存在 正整数 ， 当 时有 ． 证 证 由极限定义， 对于任意给定的正数 ， 当 时， 存在正整数 ， 当 时， 恒有 当 时， 存在正整数 ， 当 时， 恒有 令 当 时， 同时成立（1）和（2） 于是，由三角不等式有 即 . 由于 是任意给定的正数， 它可以任意小， 因此推得 , 即 , 所以极限唯一． \\ 2.1.4 数列极限的基本性质 证 设 , 由极限定义及 的任意性， 取 时， 存在正整数 ， 当 时， 恒有 令 则有 因此数列 有界. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ 2.1.4 数列极限的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ 2.1.4 数列极限的基本性质 证 设 ， 取 ， 存在正整数 ， 当 时， 有 ， 由此有 同理可证 的情形． \\ 2.1.4 数列极限的基本性质 推论1 设 ， 且 ， 则 ． 定理2.1.4 设 ， 且 ， 则存在正整数 ， 当 时， 恒有 ． \\ 2.1.4 数列极限的基本性质 关于极限定义几个应注意的问题： 内容小结与作业 1.有时对 规定范围是方便的，如 ，但要注意， 可小不可大. 2.正整数 与 有关，有时将其写成 ，但它不 唯一，注意 可大不可小. 3.直接解不等式 求 有时较困难，但若将 进行适当放大，问题则可变得简单. 作业:教材54-55页 2，4，5, 6(3)(4)，7 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 映射与函数 数列极限与数值级数 映射与函数 数列极限与数值级数 极限概念的萌芽可追溯至公元前300年，当时我国著名哲学家庄子的著作中便有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”（庄子《天下篇》）的论述。 引言：我国古代极限思想 外星人的狂想……. 庄子 约公元前369-前286 圆周率 π (割圆术, 刘徽, 魏晋) 圆面积: S = π r2 内接正n变形面积: Sn S2n S S2n+ (S2n- Sn) π ≈3.1416 以直代曲, 化整为零 非线性 → 线性 o 在南北朝（429-500）时期，祖冲之利用极限的思想计算圆周率，取得