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分形讲座 陈振华 湖南大学材料科学与工程学院 著名理论物理学家惠勒（J.A.Wheeler,1911—）说过，在过去，一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。 分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学到流体力学、天文学和计算机图形学，从分子生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地球科学、地理科学，从经济学到语言学、社会学等等，无不闪现着分形的身影。分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响，从分形的观点看世界，这个世界是以分形的方式存在和演化着的世界。 从50年代起，曼德布罗特孤身一人，整日思索着一种新的几何学。他试图通过这种几何学统一描述自然界、人类社会中普遍存在的各种不规则现象，如流体湍动、曲折的海岸线、多变的天气、动荡的股市、经济收入分配关系、棉花的价格波动等等。严格说，那时候他自己也不明确自己在找什么，甚至不知道要找的是一种新的几何学。 曼德布罗特说： 为什么几何学家常常被说成“冷酷无情”和“枯燥乏味”的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的。 更为一般地，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得（几何）相比，自然界不只具有较高程度的复杂性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。 曼德布罗特说： 这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边，被认为是“无形状可言的”形状，去研究“无定形”的形态学，然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然提出的问题。 作为对这个挑战的回答，构思和发展了大自然的一种新的几何学，并在许多不同领域种找到了用途。它描述了我们周围的许多不规则和支离破碎的形状，并通过鉴别出一族我称为分形的形状，创立了相当成熟的理论。 （一）分形论的建立 曼德布罗特（Mandelbrot）1924年出生华沙犹太人家庭，所受教育不很正规，时断时续，虽缺乏准备，却通过巴黎高等师范和高等工业学院考试，数学才能极佳，由于学术思想的尖锐冲突，离开法国到美国定居，在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦大学教过生理学，研究过语言学，他自己说过“当我听到过去从事过一连串职业时，常常怀疑自己是否存在，这些集合的交集肯定是空的”。 1958年受聘于国际商用机器公司（IBM）沃森研究中心，主要研究商品价格，提出解决计算机和计算机之间通讯用电话线中噪音问题，提出用康托尔集来描述误差分布的方式，得到“不应加强信号来淹没噪音，而采取适当信号为好”结论。 1967年在美国《科学》杂志上发表题为“英国海岸线有多长？”的论文震惊学术界。 1973年在法兰西学院讲学提出分形几何学的基本思想，认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型。 1975年冬翻阅儿子的拉丁文词典，有动词frangere（破坏）变来的形容词fractus（分数），联想英文fracture（断裂）和fraction（分数），创立了fractal（分形）。 1977年出版名著《分形：形、机遇与维数》提出分形三要素“构形、机遇和维数”。 1982年出版了《自然界的分形几何学》。 1985年获巴纳德奖。 1986年获“宫兰克林奖”。 1988年获“科学行为艺术奖”。 他现在是IBM公司的高级研究员，哈佛大学应用数学教授，美国国家科学院院士，美国艺术和科学研究院院士。 （二）病态客体与随机图形（分形产生的相邻科学） 欧氏几何学：一维线（直线与曲线）、二维面（平面与曲面）、三维立体（多面体与球体）、光滑、规则、规整几何图形点、直线、线段、正方形、矩形、梯形、菱形、三角形、正多边形、正方体、长方体、正四面体、圆、椭圆、球、椭球…… 病态客体 康托尔点集 康托尔点集 （Cantor） 康托尔尘埃 谢尔宾斯基垫片 谢尔宾斯基线集 谢尔宾斯基地毯 （Sierpinski） 谢尔宾斯基海绵 柯曲曲线（处处连续、处处不可微） 柯曲雪花（曲线） （Koch） 柯曲岛 皮亚诺曲线 （Peano） 朱利亚集（Julia集） 病态客体 随机图形 （