初中数学讲义-第十六章数的开方.doc

初 二 数 学（第25讲） 主讲教师：谢 潮（苏州立达中学） 【教学内容】 第十六章 数的开方 16.3 二次根式 【知识点精析】 一、二次根式的概念： 1．二次根式的定义 形如的式子叫二次根式。 2．二次根式有意义的取值范围 二次根式有意义的取值范围是被开方数必须是非负数。 3．二次根式的性质 （1）（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 （2）（）=a（a0），=|a|=，即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （4）当a≥0时，（）=，即一个非负数的算术平方根等于这个数的平方的算术平方根。 （5）当a≥0时，a=（）·=，即二次根式相乘就是把被开方数相乘，根据数不变。，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变。 2．二次根式的性质 （1）积的算术平方根的性质：，即积的算术平方根等于各个因式的算术平方根的积。 （2）商的算术平方根的性质：，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 3．最简二次根式 满足条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式。 4．注意的问题： （1）二次根式的乘法可以推广，即。 （2）根号内能开得尽方的因式可以移至根号外，反之移至根号外的因式也可以移至根号内，但应注意，根号外的因式必须是非负数，如。。 （3）二次根式的化简的最后结果必须化成最简二次根式。 （4）最简二次根式的两个条件中都是指因数和因式。 三、二次根式的加减 1．同类二次根式 n个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 2．二次根式的加减法 先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 3．二次根式的混合运算 二次根式的混合运算按运算顺序和运算法则进行计算，能用乘法公式的则宜用乘法公式。 4．注意的问题 （1）判断几个二次根式是不是同类二次根式，前提是将其化简成最简二次根式。 （2）二次根式的加减是把同类二次根式合并，不是同类二次根式则不能合并。 【典型例题】 例1．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2） （3） （4） 分析 二次根式有意义的条件是被开方数是非负数。（1）x－2≥0，则x≥2; （2）2x+1≠0；（3）x+1≥0且2－x≥0; （4）5+x0且x+4≠0. 解（1）要使有意义，必须满足x－2≥2，即x≥2。 ∴当≥2时，有意义。 （2）由且2x+1≠0.得x. ∴当x－时，代数式在实数范围内有意义。 （3）由x+1≥0且2－x≥0得－1≤x≤2。 x≤2时，式子在实数范围内有意义。 （4）由5+x≥0且x+4≠0得x≥－5且x≠－4。 x≥－5且x≠－4时，代数式在实数范围内有意义。 方法总结 求代数式有意义的取值范围，对于单个的二次根式来说只需满足被开方数为非负数；对于多个二次根式的代数和的，则是多个被开方数同时为非负数；对于含有分母的，则还须考虑分母不能为零。 例2．把下列各式化成最简二次根式： （1） （2） （3） （4） 分析 把一个二次根式化成最简二次根式的基本方法是：把被开方数能分解的先分解，再把能开得尽方的开出来，如果有分母，就把分母利用分式或分数的基本性质配成平方形式，然后开出来，依旧作分母，剩下的分子部分能开方的也要开出来，依次作分子。 解（1） （2） （3） （4） ）2=a（a0）。 例3．下列各式中哪些是同类二次根式： （1），，，，，，； （2） ，，a 分析 同类二次根式必须是最简二次根式，因此首先要把各个根式化成最简二次根式，观察每个最简二次根式的被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式。 解（1） ∵=5， ∴是同类二次根式，是同类二次根式。 （2）∵5=5ab，=abc， a ∴5是同类二次根式。 方法总结 同类根式指的是根指数和被开方数都相同的根式，它与式中根号外的因式无关。 例4．计算下列各题： （1）6 （2）； （3） （4） （5）－ （6） 分析：这是一组二次根式乘除法的计算题，除了利用乘除法法则外还应注意最后的结果要化成最简二次根式。 解（1）6=－18×； （2）= （3）=； （4）； （5）－=－3 （6）=－=－ 方法总结 二次根式相乘除，就是利用乘除法法则计算，将其化成一个二次根式。化简时，根号内的运算要遵循有理式的运算法则，化简后结果必须是最简二次根式。 例5．计算 （1）2 （2） 分析 计算根式加减法，必须把每个根式都化简成最简二次根式，然后再合并同类二次根式，去