微积分课件-第7章多元函数微分学.ppt

第7章 多元函数微分学 　 　 解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到 ，z 是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得 例2 设 ,其中f(u,v)为可微函数，求 解 令 ，可得 其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式. 例3 设 求 解 在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的. 显然不等于 . 例4 设 求 解 得 一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式 若函数F(x, y)在点P0(x0,y0)处的偏导数 ， 则方程F(x,y)=0在点P0的一个邻域内，确定了一个隐 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数 求导的一般公式. 7.4.2 隐含数的微分法 首先将y = y(x)代入方程F(x,y)=0，得恒等式 将左端看成x的复合函数，两端对x求导，得 由于假定 ，故有 公式(3)就是由方程F(x,y)=0确定的隐函数y = y(x)的导数公式. 解 令 ，则有 代入公式(3)，得 例5 设 例6 设 解法1 将方程写成 . 两端对x求导(y是x的函数)，得 解法2 用公式(3)求 . 代入公式(3)，得 二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数公式 将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式 前面已假定 ，由上式解出 ，得 将上式左端看成x，y的复合函数，两端对x和y求导，得 例7 设 解 将方程定成 ，令 若 ，方程F(x,y,z)=0确定了函数z=z(x,y)，由公式(4)，得 定义 设函数 z = f (x,y) 在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点 (x,y) 的函数值恒有 f (x,y)≤f (x0,y0) (或f (x,y)≥f (x0,y0))， 则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点). f (x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值. 极大值点和极小值点统称为极值点. 7.5.1 多元函数的极值 7.5 多元函数的极值与最值 注 （1）极值点一定是区域内的点 （2）不等式f(x,y)≤f(x0,y0 )(或f(x,y)≥f(x0,y0)) 也只在某个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成立 例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)f(0,0)=1, 这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标. 例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极大值1.因为对于任何(x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)f(0,0)=1 这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐标大于曲面上其他点的z坐标. 定理1 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有 注（1）驻点不一定是函数的极值点.例如，函数z=x2–y2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即 容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. （2）极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点