数论的方法技巧2.ppt

数论的方法技巧 利用整数的各种表示法 枚举法 归纳法 反证法 构造法 配对法 估计法 * 利用整数的各种表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有： 2．带余形式：a=bq+r； 3 ．标准分解式： 1．十进制表示形式： 　4．2的乘方与奇数之积式： ，其中t为奇数 上一页 下一页 例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？ 　解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0， 它的各位数字之和的10倍是 上一页 下一页 10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0， 这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是 990a3+90a2-9a0=1998， 110a3+10a2-a0=222。 比较上式等号两边个位、十位和百位，可得 　a0=8，a2=1，a3=2。 所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8。 上一页 下一页 解：依题意，得 上一页 下一页 a+b+c＞14， 上一页 下一页 例3: 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？ 　解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则 　a+b+c=18m，a+b+d=18n， 其中m，n是自然数。于是 c-d=18（m-n）。 上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则 a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r， 上一页 下一页 其中a1，b1，c1是整数。于是 　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。 因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。 上一页 下一页 返回 二、枚举法 枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。 运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。 上一页 下一页 例4: 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。 分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。 设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x，y，z。由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以 　x2+y2+z2≤10， 　从而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位数必在以下数中： 上一页 下一页 100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202， 211，212，220，221，300，301，310。 　不难验证只有100，101两个数符合要求。 例5:将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？ 上一页 下一页 对N为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论。 N|100，所以N=10，20，25，50； N|1000，所以N=100，125，200，250，500； （4）当N为四位数时，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合条件的有1000，1250。 综上所述，魔术数的个数为14个。 上一页 下一页 返回 三、归纳法 当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径。这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法 上一页 下一页 例6 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作： （1）将左边第一个数码移到数字串的最右边； 　　（2）从左到右两位一节组成若干个两位数； 　　（3）划去这些两位数中