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椭圆焦点三角形四心的轨迹
椭圆焦点三角形四心的轨迹
北京市日坛中学延静里校区 邱继勇 100025
对椭圆的焦点三角形的研究,是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体,是历年高考和高考复习的重要内容;同时,利用几何画板绘制动态图形的功能,可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路,可以更好的体现几何学的本质.
下面介绍利用几何画板,研究椭圆:焦点三角形四心轨迹的过程.
椭圆:焦点三角形内心的轨迹及其方程:
利用几何画板,先画出它的轨迹,再求它的方程.
⒈ 利用参数方程,绘制椭圆:.
⒉ 绘制点,并且作出焦点三角形,如图(1).
⒊ 作出∠和∠角平分线,设交点为I,如图(2).
⒋ 使点P在椭圆上运动,观察点I的运动轨迹,如图(3).
图(1) 图(2) 图(3)
⒌ 下面求它的轨迹方程:
解:如图(4),设点P,内心为,焦点,,,则.
过内心I作垂直于点.
∵ 点I是△的内心,点是内切圆的切点, 图(4)
∴ 由切线长定理,得方程组:,
结合,解得:.
而, ∴ ,既.………………………………①
又∵ △面积,,
∴,既=.………………………… ……………②
将①②代入,得.
可知,椭圆焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆,它的离心率是.
二、椭圆:焦点三角形重心的轨迹及其方程:
椭圆:焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆,如图(5),它的离心率与的离心率相同,方程为.解法略去. 图(5)
三、椭圆:焦点三角形垂心的轨迹及其方程:
我们还是利用几何画板,先画出它的轨迹,再求它的方程.如图(6).
它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗?我们通过它的方程来回答这个问题.
图(6)
解:如图(7),设点P,垂心为,焦点,则,.
∵⊥,
∴=0. 图(7)
又 ∵,
∴ .……………………………………..①
而,
∴……………………….②
将②式代入①式,整理得: .
由方程可以看出,椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线,它与哪些初等函数图象有关?请大家思考.
四、椭圆:焦点三角形的外心的轨迹及其方程
由于轴是椭圆焦点三角形的一条边的中垂线,所以,可以判断出外心的轨迹是轴或轴的一部分,利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点,如图(8).
下面求焦点三角形外心W的运动范围.
解:设点P,外心为,焦点.
由,得:. 图(8)
整理,得:().
可知,椭圆:焦点三角形的外心的轨迹或者是轴,或者是轴上的两条射线.
从上面求椭圆:焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来看,比较充分的体现了“利用方程研究图形”的解析几何基本内容;显示了几何画板在研究几何问题中,直观、生动、引发思考的巨大作用.事实上,通过对课件的观察,我们还可以得到更多的、开放性的问题,如欧拉线的问题等,这里不在讨论,请读者通过链接的课件的自己研究.
焦点三角形的四心.gsp
操作步骤: (以内心轨迹形成为例)
⒈ 点击 出现三角形的角平分线和内心“I”
⒉ 点击出现点P运动,并角平分线交点“I”形成内心轨迹.
⒊ 再点击停止运动,可以观察图形性质.
⒋ 再点击角平分线及交点“I”隐藏.
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