混合物整体电导率和各成分电导率的关系.doc

 混合物整体电导率和 ① 各成分电导率的关系 李剑浩 ( 大庆石油管理局测井公司 , 大庆 163412) 摘 要 本文给出了混合物中电场方程的平均形式 , 在此基础上推导出了混合物整体电导率 和各成分电导率的关系 , 并通过类比给出了混合物整体介电常数和各成分介电常数的关系 1- 作为所得结果的应用 , 给出了岩石的电导率公式 1 关键词 电场理论 , 混合物 , 电导率 , 介电常数 , 岩石 揭示混合物整体电导率和各成分电导率的关系 , 是一项有重要理论意义和实用价值的 工作 1 对于 各 成 分 电 导 率 变 化 量 小 于 各 成 分 电 导 率 平 均 值 的 混 合 物 , 这 种 关 系 已 经 得 出〔1〕1为了得出一般情况下的这种关系 , 就要对混合物的电性进行深入研究 1 本文给出了混合物中电场方程的平均形式 , 在此基础上推导出了混合物整体电导率和 各成分电导率的关系 , 并通过类比给出了混合物整体介电常数和各成分介电常数的关系 1 作为所得结果的应用 , 给出了岩石的电导率公式 , 并用实验资料验证了这个公式的正确 性 1 1 基本方程的建立 设混合物所在的区域为 V , V 中电场的变化仅由介质的非均匀性引起 1 在 V 中对欧 姆定律 J =σE 求平均得 ˉJ = σM ˉE ( 1) 式中 : σM 是根据积分中值定理得出的混合物整体电导率 , 字母上面的符号 “ - ”表示在 V 中求平均值 , J 为电流密度 , E 为电场强度 , ˉE 和 E 的关系为 E = ˉE + δE 式中 : δE 为电场强度的变化量 1 将电导率 σ也表示为同样的形式 σ = σˉ + δσ (2) ( 3) 式中 : δσ为电导率的变化量 1σ还有另一种表示法 σ = σM + δ1σ 式中 : δ1σ为电导率的另一种变化量 1 设混合物的一种或几种成分所在的区域为 v , 在 v 中对欧姆定律求平均得 J = σm E ( 4) ( 5) 式中 : σm 是 v 中的等效电导率 , σm 随着 v 的改变而改变 , 当 v 中只有一种成分时 , σm 就 是该种成分的电导率 1 式中字母两边的符号 “ ”表示在 v 中求平均值 1 将式 (2) 和 (3) 代入欧姆定律求平均得 ˉJ = (σˉ + δσ) ( ˉE + δˉE) = σˉE + δˉσδE ( 6) 其中δσ= 0 , δE = 01 由式 (1) 和 (6) 得 δσδE = (σm - σˉ) ˉE (7) 由此可见 , δσδE只在 ˉE 的方向上才不为 01 将式 (2) 和 (4) 代入电流的连续性方程 V ·J = 0 , 其中 V 为哈密顿算子 , 则有 V ·( (σM + δ1σ) ( ˉE + δE) ) = σM V ·δE + V ·(δ1σE) + V ·(δ1σδE) = 0 即 σM V ·δE + V ·(δ1σδE) 上式两端求梯度 , 注意到 V ×δE = 0 , 则有 σM V 2δE + V ( V ·(δ1σδE) ) = - V ·(δ1σˉE) ( 8) = - V ( V ·(δ1σˉE) ) ( 9) 我们要研究式 (9) 在同种成分所在的区域 v 上求平均 , 即保持 δ1σ不变求平均 1 设 点 Q 只在点 P 所在的那种成分所占的区域 v 上变化 , r ˉp 和 r ˉp + r Qˉ 分别是点 P 和点 Q 的位 置矢量 , 对任一物理量 W = W (r ˉp + r Qˉ ) 在 v 上求平均 1 V∫v W ( r ˉ + r ) dr ( 10) W = p Qˉ Qˉ 设 X i 是 r ˉp 的某一直角坐标分量 , 上式对 X i 求微分得 5 1 5/ 5 X i W = 5 X ( v∫W ( rp + rQ ) d rQ ) v i 1 5 v∫v 5 X i W ( r + r ) d r = p Q Q 5 W ( 11) = 5 X i 因此 , 利用式 (11) σM V 2 对式 (9) 在保持 δ1σ不变的情况下求平均得 δE + V ( V ·(δ1σ δE ) ) = - V ( V ·(δ1σˉE) ) ( 12) 不难证明 , δE 只有在 ˉE 方向的分量才不为 0 , 而在正交于 ˉE 的另外两方向上的 分量都为 01 将