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神奇的悖论——数学中的语文 什么是悖论？ 悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。 悖论的形式 悖论有三种主要形式： 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 　　 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论的种类 悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。 逻辑悖论之语义悖论 三段论推导的悖论 （１）亚里士多德是哲学家 （２）哲学家是类概念　　 （３）所以，亚里士多德是类概念。 这其中蕴含了“语义悖论” （１）亚里士多德是哲学家 （２）哲学家是类概念　　 （３）所以，亚里士多德是类概念。 语句１中的哲学家和语句２中的“哲学家”不在一个层次上。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。 逻辑悖论之全能悖论 上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的。 回答一：是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。 回答二：这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。 逻辑悖论之意志自由 如果上帝无所不能并在造出我们之前就已经知道我们会做什么，那么我们如何才能够拥有自由意识呢？ 回答：这个悖论可以用上帝存在超越时间来解释——他可以知道未来，就如同他知道过去和现在。正如过去并不干涉我们的意志自由，未来也不会干涉。 逻辑悖论之沙堆悖论 有一堆1，000,000颗沙粒组成的沙堆。如果我们拿走一颗沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗沙粒，那么它还是一堆吗？ 回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000颗沙粒是一堆沙，那么少于10，000颗沙粒组成的就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙和10001颗沙就有点不合理。那么就有一个解决方案了——设定一个可变的边界，但是这个边界是多少，并不需要知道。 逻辑悖论之理发师悖论 一个男理发师的招牌上写着： 　 告示：城里所有不自己剃头的男人都由我给他们剃头，我也只给这些人剃头。 谁给这位理发师剃头呢？ 如果他自己剃头，那他就属于自己剃头的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人剃头，因此他不能自己来剃头。如果另外一个人来给他剃头，那他就是不自己剃头的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人剃头。因此其他任何人也不能给他剃头。看来，没有任何人能给这位理发师剃头了！ 这是伯特纳德·罗素提出的这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如，所有不是苹果的东西的集合，它本身就不是苹果，所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。 理发师悖论的数学表达式： 已知：集合Z={x|x≠x} 问：x是否属于集合Z? 或者： 已知：P={A∣A∈A} Q={A∣A￠A} 　　 问：Q∈P 还是 Q∈Q？ 这就是著名的罗素悖论！！ 罗素悖论的影响 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。当弗雷格已经完成他的关于算术基础的两册巨著《算术的基本法则》的最后一册时，罗素通信告诉了他这个悖论。弗雷格在其论著的末尾以悲哀的话语写道： “一位科学家不会碰到比这更痛苦的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待复印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。 于是，弗雷格终结了这不止12年的辛勤劳动。 狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版复印，这时也把稿件抽了回来。 发现拓扑学中“不动点原理”的布劳威也认为自己过去作的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。 罗素悖论引发了第三次数学危机！！！！ 罗素悖论的“破坏力”还不仅局限在数学领域，只要把罗素悖论的陈述略加修改，即用逻辑的术语来代替集合