第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件.ppt

§1 对弧长的曲线积分 §2 对坐标的曲线积分 §3 格林公式及其应用 §4 对面积的曲面积分 §5 对坐标的曲面积分 §6 高斯公式、通量与散度 §7 斯托克斯公式、环流量与弦度 投影到xOy面上得一投影区域, 投影区域面积记为 类似,可定义?S在yOz面及zOx面上的投影 设Σ是有向曲面, 在Σ上取一小块曲面?S,把?S 定义 设 有定义.把S任意分成n块小曲面 其面积也记为 在有向曲面S上对坐标x、y的曲面积分, 记作 即 类似,可定义函数 以上三个曲面积分统称为对坐标的曲面积分或 第二型曲面积分. 上连续时, 对坐标的曲面积分是存在的. 在许多实际应用问题中,要考虑三个积分之和: 为书写简便起见, 写成: 或 所以, 两类曲线积分有如下联系: 空间曲线G上两类曲线积分有如下联系: 式中 cos a、 cos b、 cos g为有向曲线 G上过点 M(x,y,z)处的切线的方向余弦, P 、 Q 、 R 、 a 、 b 、 g都是G上点(x, y, z)的函数. §3 格林公式及其应用 一　格林公式 　　设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的区域都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为复连通区域. 例如, 平面上的圆形区域 上半平面 都是单连通区域, 圆环 形区域 都是复连通区域. 　　设平面区域D的边界是由一条或几条光滑曲线所围成. 边界曲线L的正向规定为: 当人沿边界行走时, 区域D总在他的左边. 定理1 格林(Green)公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 其中L是D的取正向的边界曲线. 证明 (i) 假设穿过区域D内部且平行坐标轴的直线 与D的边界曲线L的交点至多为两点, 即区域D既是 X-型又是Y-型的情形. (★) 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 因此 同理可得 (ii) 如果闭区域D (含复连通区域)不满足(i)的条件, 那么,在D内引进一条或几条辅助曲线, 把D分成有 限个部分闭区域,使得每个部分闭区域都满足上述 (i)的条件.在每个部分闭区域上应用公式(★), 得 把上面三个等式相加,即得(★) 式,这是因为沿 一般地, 公式(★) 对于由分段光滑曲线围 成的闭区域都成立. 辅助曲线来回各积分一次,其积分值相互抵消 . 利用曲线积分, 可以求平面图形的面积. 在格林公式中令 则 即有 其中A为平面区域D的面积. 例1 求椭圆 所围成图形的面积A. 解 注: 当在一条非闭的曲线上关于坐标的曲线积分I1不易计 算时,可以适当添加若干条辅助曲线, 使它成为一个适当 的闭区域的边界曲线,以便利用格林公式把曲线积分转化 为重积分J来计算;当算出整条边界曲线上的积分后,应减 去在辅助曲线上的积分I2. 例2 计算 其中L为从点A(1,0)到点B(5,0)的上半圆周 解 添加直线段 故 利用格林公式可得 例3 计算 时针方向绕行而不经过坐标原点的简单封闭曲线. 解 令 记L所围成的闭区域为D. 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 定义1 设D是一个区域, 函数 在D内具有一阶连续偏导数,如果对于D内的任意 取定的两点A、B及从A点到B点在D内任意两条 曲线L1和 L2 , 都有 成立, 则称曲线积分 在D内与路径无关, 否则称为与路径有关. 定理2 若函数 连通区域D内连续, 则下面四个命题相互等价: (A) 曲线积分 与路径L无关; (B)在D内存在一个函数 (C)对D内任意一点 (D)对D内任意光滑或逐段光滑闭曲线C, 有 例4 求 终点为A(0,4). 的上半圆周. 起点为O(0,0), 解 故该曲线积分与路径无关.取沿x轴上从点O(0,0)到 点A(0,4)的线段OA积分. 在OA上 三 原函数与全微分方程 定义2 如果u(x,y)是D上的可微函数且其全微分 du = P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称 u = u(x,y)是表达式 P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数. 若u(x,y)是表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数, 则对任意常数C, u(x,y)+C也是原函数.反之,若u, v 都是P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数,则d(u- v) = 0, 从而u- v是一个常数. 所以u(x, y)+C是所有原函数 的一般表达式. 例5 验证:在整个平面内 是某个函数的全微分, 并求出它的一个原函数. 解 设 径