第1讲平行线与比例线段教师版.doc

板块 考试要求 A级要求 B级要求 C级要求 相似三角形 会识别相似三角形 掌握相似三角形的概念、判定和性质，会用相似三角形的性质和判定解决简单问题 会运用相似三角形的性质和判定解决有关问题 一、比例 1、比例的基本性质： 1)这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)(反比定理); 3)(或)(更比定理); 4)(合比定理); 5)(分比定理); 6)(合分比定理); 7)(等比定理). 2、比例中项： 若,则叫做的比例中项. 3、如图,设三 称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立. 二、平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果，则，，. 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则 3. 平 板块一、比例的基本性质 已知：，求证：是的比例中项。 【解析】讲解此题时。老师可先引导学生回顾比例中项的定义：如果，那么是、的比例中项。由， 而 故是的比例中项. 已知：。求. 【解析】设，代入中得原式 设，则_______ 【解析】由及比例的性质可知：。也可用“过渡量”来求！ 板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 如图，，且,若，求的长。 【解析】 如图，已知，若，，，求证：. 【解析】∵ ∴ ∵ ∴ 两式相加并变形可得，，即. 【巩固】（黄冈市中考题）如上图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为.证明：. 【解析】由，，，则必有，由例10可知 必有. 【点评】巩固是上面例10的一种特殊情况，但结论成立的根本原因是. 【巩固】如图，找出、、之间的关系，并证明你的结论. 【解析】，过点、、分别作的垂线， 垂足为、、. 由巩固1可知，，故 即 【点评】此题的证明过程体现了“集中”这一思想，将、集中到同一条线段上，从而发现它们的和是一个常数. 如图，在梯形中，， ，过对角线交点作 交于，求的长。 【解析】由图可知： ∵，∴， ∴，∴，∴ 同理，∴. 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形中，，分别是 的中点，交于，交于，求的长。 【解析】方法一：由可知， 方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想，但是本题中没有可以直接使用基本 图形结论的条件，可通过连接来实现，设、交于点. ∵ ∴， ∵， ∴ ∴（∵，其中为中间过渡量） ∵ ∴ ∴ ∴ 如果双向延长分别与、交于点、，则有 . 板块、 （2007年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______. （2）如图（2），已知中，，，与相交于，则 的值为（ ） A. B.1 C. D.2 【解析】（1）先介绍常规的解法： 如图，过点作或的平行线均可，不妨以左图为例来说明. 过点作，交于点. ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 当然，过点、点作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出. 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知， 又，，故 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立 竿见影的效果，很快得出答案. （2）本题的解法与（1）相似，不再给出，可当作练习.选C. 【点评】解完这两道小题之后，可发现图（1）、（2）的条件是完全一致的，（2）中的点是的中点， （1）中对应的点是，（2）中的点对应（1）中的点.实际上，（1）、（2）是一个图形，作 如下变化即可看出：（2）中点向右移动，其他的点和已知条件不变，移动的过程中可发现，（1）、 （2）其实就是同一个图形，这也是把这两个小题放在一起的原因. 最后可总结这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用 梅氏定理来解题. （2001年河北省中考试题）如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）试猜想时的值，并证明你的猜想. 【解析】（1）当时，； （2）当时，； 当时，. （3）当时，， 证明方法比较多，选择两种介绍： 如上右图，过点作，交于点.