第6章 插值法.ppt

（１） 系数用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数(M关系式?) 设 记 3次多项式导2次后，为线性函数 对上式连积两次得 从而得到： 如果是第一边界条件，即： = 即： 第二边界条件,第三边界条件可以得到类似的结果 （2）系数用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数（m关系式） 设 所以，是3次二重Hermite插值，记 由 两个边界条件 有 加上边值条件 (1) 固支边界条件 (2) (3) 周期边界条件 （三）三次样条插值函数的收敛性 三次样条插值函数S(x)具有很好的收敛性，不仅S(x)可收敛于f(x)，且其导函数， 也有这样的性质。 定理：设被插函数f(x)在[a，b]上具有四阶的连续导数，S(x)为相应于第一边界条件或第二边界条件的三次样条插值函数，则在[a，b]上成立余项估计式： 5 Hermite插值多项式 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的 连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。 称为二重密切Hermite插值 性质：满足条件 的次数不超过n+r+1次的多项式存在且唯一。 证：存在性由下面例子类似可以说明。唯一性由任一n次多项式有n个根（含重根），若有n+1个根的话该多项式肯定0。 §5 Hermite Interpolation 例：设 x0 ? x1 ? x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。 模仿 Lagrange 多项式的思想，设 解：首先，P 的阶数 = 3 ? + = 2 1 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = 0 i i i x h x1 f ’ x h x f x P ? h0(x) 有根 x1, x2，且 h0’(x1) = 0 ? x1 是重根。 ) ( ) ( ) ( 2 2 1 0 0 x x x x C x h - - = 又: h0(x0) = 1 ? C0 h2(x) h1(x) 有根 x0, x2 ? ) )( )( ( ) ( 2 0 1 x x x x B Ax x h - - + = 由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。 与h0(x) 完全类似。 (x) ? h1 有根 x0, x1, x2 ? ? h1 ) )( )( ( ) ( 2 1 0 1 x x x x x x C x - - - = ? h1 又: ’(x1) = 1 ? C1 可解。 其中 hi(xj) = ?ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1 ? h1 ? h1 与 Lagrange 分析完全类似 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数， 注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法 误差分析 类似Lagrange插值的分析方法 二重密切Hermite插值误差 例5.3 给定函数值表如下: 求过0,1两点构造一个三次插值多项式,满足条件 f(0)=1, f (0)=1/2 , f(1)=2, f (1) =1/2 解: 设 H3(x)=Y0l0(x)+y1l 1(x) +y 0 h0(x) +y1h 1(x) 因为 l0(x)=(ax+b)(x-1)2 利用 l0(0)=1和l0 (0)=0, 得 b=1,a=2. 所以: l0(x)=(2x+1)(x-1)2 同理可得 l1(x)=(3-2x)x2 h0(x)=x(x-1)2 h1(x)=x2(x-1) 所以 H3(x)=(1+2x)(x-1)2 +2(3-2x)x2+0.5(x-1)2x +0.5(x-1)x2 =-x3+1.5x2+0.5x+1 例：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大