第6讲计数综合教师版.doc

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合； 3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。 一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做． 根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成： 步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法； 步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法； …… 步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法； 由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。 二、排列数 一般地，对于的情况，排列数公式变为． 表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中。 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题。 一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。 一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步： 第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法； 　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法． 根据乘法原理，得到．因此，组合数． 这个公式就是组合数公式． 四、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质：() 这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法。 例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即。 规定，。 名男生，名女生，全体排成一行，问甲不在中间也不在两端；甲、男、女生分男女相间．名运动员中选出人参接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种： ⑴ 甲不能跑第一棒甲不能跑第一棒，乙不个演唱节目和个舞蹈节目．求： ⑴ 当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ ⑵ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？ ⑴ 先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有 (种)方法．第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节 目全排列的问题，有(种)方法． 根据乘法原理，一共有(种)方法． ⑵ 首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从个“×”中选个来排，一共有(种)方法． 根据乘法原理，一共有(种)方法。 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？ 先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，