线代相似矩阵与二次型.ppt

二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 1．将一组基规范正交化的方法： 　 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化． 2． 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立： 第二节 方阵的特征值与特征向量 教学目的:理解特征值与特征向量的概 念，掌握求特征值与特征向 量的方法. 教学重点:特征值、特征向量. 教学难点:特征值与特征向量的概念与性质. 说明 解 例1 例２ 解 例３ 设 求A的特征值与特征向量． 解 得基础解系为： 例４ 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则 证明 再继续施行上述步骤 次，就得 证明 则 即 类推之，有 把上列各式合写成矩阵形式，得 例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为 解 教学目的:理解相似矩阵与对角化的概念，掌握方阵可对角化条件. 教学重点:相似矩阵、对角化. 教学难点:理解对角化条件. 1. 等价关系 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 　　利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . 定理 证明 证明 命题得证. * * 本章给出向量的内积、长度及正交性等概念，然后主要讨论方阵的特征值与特征向量．再给出两方阵相似的概念，利用特征值和特征向量给出了方阵的相似对角化。对于对称矩阵研究其特征值与特征向量的特性，并给出正交标准化方法，这对二次型的化简起到关键作用。最后讨论了二次型的标准化与正定性等问题．本章内容丰富，涉及面较广，概念难度较大. 第五章 相似矩阵及二次型 本 章 目 录 向量的内积、长度及正交性 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 用配方法化二次型成标准型 正定二次型 教学目的:理解向量内积、正交性等概 念，掌握施密特正交化过程. 第一节? 向量的内积、长度与正交性 教学重点:内积、正交化过程、正交矩阵. 教学难点:施密特正交化方法、正交矩阵. 定义1 内积 说明 　　　1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 内积的运算性质 定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： 解 单位向量 夹角 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 证明 ３ 正交向量组的性质 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. ４ 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 ５ 规范正交基 例如 同理可知 （1）正交化，取 ， ６ 求规范正交基的方法 （2）单位化，取 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 例３ 解 再把它们单位化，取 几　何　解　释 例４ 解 把基础解系正交化，即为所求．亦即取 证明 定义4 定理 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交． 性质 正交变换保持向量的长度不变． 证明 例５ 判别下列矩阵是否为正交阵． 定义5 若 为正交阵则线性变换 称为正 交变换． 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 所以它是正交矩阵． 由于 例６ 解