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第四章 线性系统的根轨迹分析 例4-1 已知负反馈系统的开环传递函数 试概略绘制闭环系统的根轨迹。 解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数： （1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，－4，和－2±j4。 （2）轴上的根轨迹区间为[－4，0]。 （3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为σa=－2；φa=±45°，±135° （4）复数开环极点p3,4=－2±j4处，根轨迹的起始角为θp3.4=±90° （5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程，解得，。因为时，；时，，所以，d1、d2、d3皆为闭环系统根轨迹的分离点。 （6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为 列写劳斯表如下 1 36 8 80 26 K 当K=260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程 得根轨迹与虚轴的交点为。概略绘制系统根轨迹如图4-1所示。 例4-2 单位负反馈控制系统的开环传递函数为。（1）绘制、，的根轨迹（要求在图上标出各特征数据）；（2）若要求系统的开环增益为10（），阻尼比为，无阻尼自振频率为，试确定、、的值。 解：(1) ①系统的开环零点、，开环极点、，两条分支分别起始于极点，一条终止于零点，另一条趋向于无穷远处； ②实轴上根轨迹位于区间、； ③根轨迹的分离点与会合点 解得、 根轨迹分离点、会合点之相角 求分离点对应的值 求会合点对应的值 ④绘制根轨迹图如图4-2所示。 图4-2 (2) 闭环特征式为 ………………① 同时 ……………………② 联立①、②两式可求得，， 例4-3已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 。1）绘制系统的根轨迹图：2）求使系统取得最大振荡响应的阻尼比和值：3）求取（2）中值系统的单位阶跃响应。 解：1） ①系统的开环零点、，开环极点、，两条分支分别起始于极点，一条终止于零点，另一条趋向于无穷远处。； ②实轴上根轨迹位于区间、； ③根轨迹的分离点与会合点 解得、 根轨迹分离点、会合点之相角 求分离点对应的值 求会合点对应的值 ④绘制根轨迹图如图4-3所示。 图4-3 2）要使系统取得最大振荡响应只需阻尼比取最小，即在相切点A时达到，相切点A点的坐标为， ， 3）， 闭环传递函数为 单位阶跃响应为 作拉氏反变换 例4-4 控制系统的开环传递函数为 1）证明该系统的根轨迹通过点； 2）求有一个闭环极点在时的值； 3）求使闭环系统稳定的开环放大倍数的取值范围。 解：1） 满足相角条件，所以根轨迹能过 2）由幅值条件 3）特征方程为 即 劳斯表为 系统闭环稳定必须使，即 例4-5 已知系统如图4-5所示： 图4-5 1）绘制根轨迹图（应计算渐近线、分离点及续轴交点）； 2）确定使闭环系统渐近稳定的值范围； 解：过程略，计算机绘制的根轨迹如图4-6所示： 图4-6 例4-6 设控制系统的开环传递函数为。1）绘制系统的根轨迹图；2）确定系统稳定的的最大值；3）确定阻尼比时的值； 解：1）绘制系统的根轨迹图： ①系统的开环极点为、，，三条分支分别起始于极点，终止于无穷远处； ②根轨迹共有条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是 渐近线与实轴正方向的夹角分别为（）（） （） ③实轴上根轨迹位于区间、； ④根轨迹与实轴的分离点坐标 解得、 由前面分析得知，不是根轨迹上的点，故舍去。是根轨迹与实轴分离点坐标。 求分离点对应的值 ⑤根轨迹与虚轴的交点坐标 即 ⑥绘制根轨迹图。 2）系统稳定的的取值范围为，则的最大值为126 3）根据绘制的根轨迹图，要使系统的阻尼比，则系统的必有一对闭环极点 由于根轨迹上的点比满足相角条件 则有 化简可得 解得 图4-7 例4-7 设控制系统的结构图如图4-8所示  试证明系统根轨迹的一部分是圆； 解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件 得 s为复数。将代入上式，则有 即 取上述方程两端的正切，并利用下列关系 有 即 这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。 例4-8已知控制系统的开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围. 解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j3.46,开环零点为－1。 （2） 确定根轨迹的渐近线 渐渐线的倾斜角为 l=0，1，2，φa=π/3，π，5π/3。 渐进线与实轴的交点为 （3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。 （4） 确定根轨迹的分离点 系统的特征方程式为 即 利用,则有 解之可得，分离点d1=0.46 和 d2=－2