高等数学（完整版 第三版 理工类）备课教案01 第一节 定积分概念.docVIP

第五章 定积分 不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面. 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 古希腊的阿基米德用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”, 都曾计算过一些几何体的面积和体积,这些均为定积分的雏形. 直到17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学. 本章先从几何问题与力学问题引入定积分的定义,然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在几何与经济学中的应用. 第一节 定积分概念 分布图示 ★ 引言 ★ 曲边梯形 ★ 曲边梯形的面积 ★ 变速直线运动的路程 ★ 变力沿直线所作功 ★ 定积分的定义 ★ 定积分存在定理 ★ 定积分的几何意义 ★ 定积分的物理意义 ★ 例1 ★ 例2 ★ 求定积分过程的辩证思维 ★ 定积分的近似计算 ★ 例3 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-1 ★ 返回 内容要点 一、引例： 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 二、定积分的概念 定义1 设在上有界, 在中任意插入若干个分点 把区间分割成n个小区间 , , , 各小区间的长度依次为 . 在每个小区间上任取一点 作函数值与小区间长度的乘积, 并作和式 记如果不论对怎样的分法, 也不论在小区间上点怎样取法, 只要当时, 和总趋于确定的极限I, 我们就称这个极限I为函数在区间上的定积分, 记为 ， 其中叫做被积函数, 叫做被积表达式, x叫做积分变量, 叫做积分区间. 三、求定积分过程中的辩证思维 无论是求曲边梯形的面积，还是求变速直线运动的路程，初等数学都无法解决，而高等数学可迎刃而解. 奥妙何在? 奥妙就在于恩格斯所指出的:“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学 ——?其中最主要的部分是微积分??本质上不外是辨证法在数学方面的应用?，在取极限过程中，当时，一方面使积分和中的积分元素转化为总量的微分 这是对总量的否定，这次否定的结果得到了的微分 这是对总量的无限项细分；另一方面，当时，积分和转化为对微分的无限项相加，这是对的否定，这一次否定的结果得到了总量，这是对的无限积累. 正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维，才使得高等数学 —— 主要是微积分 —— 巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题. 四、定积分的近似计算 矩形法的几何意义非常明确，就是用小矩形的面积近似作为小曲边梯形的面积，总体上用阶梯形的面积作为整个曲边梯形面积的近似值 定积分的近似计算法很多, 这里不再作介绍, 随着计算机应用的普及, 利用现成的数学软件计算定积分的近似值已变得非常方便, 在本课的数学实验中（见光盘）读者可具体进行实践. 例题选讲 定积分的概念 例1 (E01) 利用定积分的定义计算定积分. 解 因函数在上连续，故可积. 从而定积分得值与对区间得分法及的取法无关. 为便于计算，将等分，如图，则 于是 取每个小区间的右端点则 故 例2 利用定积分表示下列极限. 解 原极限 易见，若取则原极限 由此可见，被积函数应取为注意到在上连续，因而是可积的. 故有 原极限 注: 今后可直接计算出上述积分结果为 定积分的近似计算 例3 (E02) 用矩形法和梯形法计算定积分的近似值. 解 把区间十等分，设分点为设相应的函数值为 列表如下: 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.00000 0.99005 0.96079 0.91393 0.85214 0.77880 6 7 8 9 10 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.69768 0.61263 0.52729 0.44486 0.36788 利用左矩形公式，得 利用右矩形公式，得 利用梯形法公式，得 实际上十前面两值得平均值， 课堂练习 1. 将和式极限: 表示成定积分. 2. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式: