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随机过程 周丽娟第二章 随机过程的概念与基本类型 随机过程的基本概念 随机过程分布率和数字特征 复随机过程 几种重要的随机过程 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分（J.Neyman，1960），意思是说它的研究对象是随时间演变的随机现象。 下面通过具体的过程实例来导出随机过程一般的数学定义。 例一、设有一电子直流放大器 进一步分析发现这个输出零点漂移在相同条件，比如每天的某一时刻进行观测，如果我们观测是了n天，就可得n条输出零点漂移曲线， 把这些曲作出，如图1.2所示。 可以发现这些曲线形态不一样，即每条曲线各不相同，不能用统一的确定函数表示，但它们都是时间t的函数即零点漂移构成一个随机过程记为X(t)，也可以说这些曲线的全体（时间函数的全体）集合就构成了一个零点漂移随机过程，即X(t)={x1(t)…,xn(t)…}，其中每一曲线xi(t)又可称为随机过程的样本曲线函数（时间函数），i=1,2…,n…。显然，由图1.2所所示的在一次实验结果中，随机过程必取一个样本函数，但究竟取哪一个函数则在试验前不能确定，但是在大量的重复实验中，可知道随机过程呈现出统计规律性。因此直观地讲，随机过程既是时间t的函数，也是试验可能结果e的函数，记为X(t,e)。 进一步分析可以看出对于随机过程X(t)={x1(t)…}。 当我们取定t=ti时刻时有 由图1.2可以看出，取值各不相同，没有必然的规律。若把x1(ti),…,xn(ti)看成是随机过程X(t)在时刻ti的各种可能取值，很显然X(ti)是一个随机变量。 例二、在地震勘探工作中，我们通过检波器把混有随机干扰的随时间变动的地层结构信号记录下来，如图1.3所示。 按Xt 的概率特性分类 （1）正交增量过程；（2）独立增量过程； （3）马尔可夫过程；（4）平稳随机过程…… 2.2 随机过程的分布律和数字特征 一、随机过程的分布函数 我们知道概率论的研究对象是随机变量的变化规律，由此我们需要建立随机变量的数学模型或称函数关系，这里函数关系在概率论中叫分布函数（或称概率密度函数）。类似的，随机过程也是要研究X(t)的变化规律，进而建立随机过程的数学模型或函数关系，下面我们来分析如何建立所谓随机过程的函数关系。 对于一个随机过程X(t)，严格地说我们不能在图上用一条曲线简单地表示一个过程，因为按随机过程的定义，该随机过程可表为： 为了研究随机过程的变化规律，我们暂且假定随机过程可以在图上用一条曲线来表示，如图。 当然这条曲线不能作为具体的样本函数，而应把它看作全部可能样本函数的集合。 现在我们动用记录器来记录X(t)的变化过程，由于记录器不可能连续地记下过程，而只能记下过程X(t)在确定时刻下的状态。 前面已讲过，在确定的时刻t上，随机过程变成为通常的随机变量，于是记录器在时刻t，就记录下相应的结果。显然，当记录器的速度相当快时，即时间间隔很小（或n很大）时，我们可用这n个随机变量的变化来描述随机过程的变化规律。 这样，在一定的近似程度下，我们可以通过研究多维随机变量的变化规律，即分布函数关系来代替研究随机过程的变化规律，由此进而建立起近似随机过程的数学模型。 定义一维分布函数：对于随机过程X(t)，当取定 时， 为随机变量，该随机变量X(t1)的分布函数记为 则称 为随机过程X(t)的一维分布函数。 同随机变量一样，若 对x1的偏导数存在，则有 例1.1 求随机过程 的一维概率密度函数，式中 是常数，x是一个服从标准正态分布的随机变量。 解: 对于任意取定时间 是一个随机变量，由随机过程的一维分布函数及一维概率密度函数定义知 又 ∵ 结合概率论知识，显然随机过程X(t)的一维分布函数、一维概率密度具有普遍随机变量分布函数和概率密度函数的各种性质。惟一的差别是随机过程的一维分布函数和一维密度都是时间t的函数，即是一个动态的分布函数和概率密度。 由上面的分布知随机过程的一维分布函数仅仅描述了随机过程X(t)在t=(t1)时刻所对应的一个状态X(t1)的变化规律。显然此时由随机过程的一维分布函数来近似描述X(t)的变化规律，其数学模型误差太大。 为了比较全面地描述随机过程X(t)的变化规律，我们引入随机过程的二维分布函数。 定义随机过程的二维分布函数： 对于随机过程X(t)在任意两个时刻 两个随机变量（两个状态），我们把这两个随机变量的二维分布函数记为： 随机过程的二维分布函