高一数学 专题讲座 利用向量证明平几问题 向量具有一套良好的运算性质 .doc

高一数学 专题讲座 利用向量证明平几问题 向量具有一套良好的运算性质，它可以把向何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”的结合，因此用向量知识解决平面几何问题，显得特别简捷。 【例1】 如图，AD，BE，CF是ΔABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于一点。 分析 要证明三条高线交于一点，可先设两条高线交于一点，再利用向量的数积证明第三条高线也过此点即可。 证明 设BE，CF相交于一点H，并设AB=c，AC=b, AH=h， ∴ BH=h-c, CH=h-b, BC=c-b ∵ BH⊥AC， CH⊥AB, ∴ （h-c）·b=0, 且（h-b）·c=0. ∴（h-c）·b=（h-b）·c, ∴h·（c-b）=0 ∴ AH·BC=0 即AH⊥BC，则AH与AD重合， ∴ AD，BE，CF相交于一点H。 说明 证明有关线段垂直的问题，常用向量垂直的充要条件a·b=0来解决。 【例2】 如图，在ΔAOB中，AB上一点P（点P不与点A、B重合），设OA=a,OB=b,OP=xa+yb（x≠0，y≠0，x，y∈R），求证：x+y=1,且AP=PB。 分析 要证x+y=1,即可证x=1-y，xOA+yOB，可过P作PB1∥AO交OB于B1，则 x=，y=,即可得到x=1-y。然后利用向量的减法运算求得AP、PB关于a与b的表示式即可得到结论。 证明 过点P作PB1∥OA交OB于B1点。 设=x＞0, =y＞0. 则OP=xOA+yOB, 从而x== =， ∴x=1-y,即x+y=1. ∵AP=OP-OA=xa+yb-a =(x-1)a+yb， PB=OB-OP=b-(xa+yb)=(1-y)b-xa， ∵ x=1-y, x-1=y, ∴AP=y(b-a), PB=x(b-a). ∴AP=PB。 说明 本题是利用向量的基本运算来将一个向量分解的典型例题，在证明过程中利用了平面几何的比例线段的有关定量及向量的减法。 【例3】 书籍任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF=（AB+DC）。 分析 本题的证明可以利用封闭图形的首尾相接的向量和为零向量的原则，或利用三角形的中线向量公式，也可利用向量的坐标法表示以及两个向量相等的充要条件来证明。 证法1 如图， ∵ EF + FC + CD + DE = 0， EF + FB + BA + AE = 0， ∴ EF = ED + DC + CF。 EF = EA + AB + BF 将上两式相加，得 2EF = ED + EA + AB + DC + CF + BF 由于ED+EA=0，CF+BF=0， ∴ EF=（AB+DC）。 证法2 如图，在平面内取一点O，作OE，OF， ∵ E，F分别为AD，BC的中点， ∴ OE=（OA+OD）， OF=（OB+OC）， 又∵ EF=OF-OE， ∴ EF=（OB+OC）-（OA+OD） =[（OB-OA）+（OC-OC）] =（AB+DC）。 证法3 设四边形ABCD的四顶点坐标分别为A（a1,a2,），B（b1,b2），C（c1,c2），D（D1,D2），则有 AB=（b1-a1，b1-a2），DC=（c1-D1，c2-D2）， ∴ （AB+DC）=（）， 又∵ E，F分别是AD，BC的中点， ∴ E的点坐标为（），F点的坐标为（）， ∴ EF=（）， ∴ EF=（AB+DC）。 说明 本题是利用向量的基本方法解决平面几何问题的典型例题，证法1利用向量加法、零向量及相反向量等概念，及首尾相连之诸向量和等于零向量这一原则。证法2利用三角形中线的向量公式及向量的减法运算进行证明，由于向量的两要素中不考虑起点，所以任取一点构造向量是向量方法的基本思路之一，有时十分便利。证法3利用向量的坐标法即相等向量的坐标相同来进行证明的，三种方法各有优点，在解题中要因题而异选择比较。 专题二 利用向量解决三角问题 【例1】对于任意数α，β，求证： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 分析 可在平面上取两个单位向量a与b，使a=（cos, sinα）,b=（cos（-β））， sin（-β）则α+β就是向量a与b的夹角，利用向量的数量积即可得证。 证明 如图所示，建立直角坐标系。可设a=（cos, sinα），b=（cos（-β）, sin（-β）），a与b的夹角为α+β。 由平面向量的数量积坐标表示，得 a·b=cosα·cos（-β）+ sinα·sin（-β） = cosαcosβ-sinαsi