一一对应思想应用举例-北重三中.doc

一 一 对 应 思 想 应 用 举 例 包头市北重三中 数学组 王永刚 问题：已知正整数集合与正偶数集合P={x| x=2k , k }, 问哪个集合中所含的元素多？ 许多人会毫不犹豫地说“正整数集合比正偶数集合P中所含的元素多。”因为正偶数集合P中所含的元素只是正整数集合中的一部分。 事实上，正整数集合与正偶数集合P中所含的元素一样多。 持与以上结论有不同观点的人总觉得以上结论十分荒谬。因为在小学数学课上，老师就讲过，部分先看下面小于整体。其实，正是这种“传统的”观念在许多人头脑中作怪，才会得出与事实不符的结论。 对于有限的事物而言，部分小于整体，这是千真万确的结论。可是，正整数集合与正偶数集合P都是无限集合，它们都包含有无穷多个元素，所以，我们要做好遇到“异常”现象的思想准备。 下面 ，说明一下为什么“正整数集合与正偶数集合P中所含的元素一样多”这个问题。 对于两个有限集合，要比较它们所包含的元素的多少，只需要计算一下它们所包含的元素的个数即可。对于两个无限集合，这种方法行不通。著名的数学家康托尔 ( cantor 1845----1918 , 生于俄国后移居德国 ，集合论的创始人 ） 给出如下的方法。让两个集合中的元素按某种对应关系一 一配对，如果这种对应关系是两个集合的元素间的一 一对应关系，那么这两个集合中的元素个数一定相等。否则，一 一配对后，哪个集合中的元素剩下了，那么它所含的元素就多。 我们让正整数集合中的元素k对应正偶数集合P中的2k , 就能在两个集合的元素之间建立一 一对应关系。所以，正整数集合与正偶数集合P中所含的元素一样多。 在无穷大的世界里，部分可能等于整体 。 对于 “在无穷大的世界里，部分可能等于整体 ”这个正确结论，著名德国数学家希尔伯特（Dhilbent 1862---1943 ） 曾经用下面的故事给予说明，这个故事再好不过了。 我们设想有一家旅店，内设有限个单人房间，且所有房间都已经客满。这时，来了一位新客人，想订一个房间。“对不起，先生，所有房间都住满了，请你到其它旅店看看吧。欢迎您下次光临，谢谢！”店主说。 再设想另有一家旅店，内设无限多个单人房间，且所有房间都已经客满。这时，来了一位新客人，想订一个房间。店主说“先生，请稍等一下。”于是，他请1号房间的客人搬到2号房间，请2号房间的客人搬到3号房间 ，… ，如此下去，1号房间就腾出来了。这位新来的客人就可以住进1号房间了。 再设想另有一家旅店，内设无限多个单人房间，且所有房间都已经客满。这时，又来了无穷多位客人要求订房。店主说“好的，先生们，女士们，请稍等一会儿。” 于是，他请1号房间的客人搬到2号房间，请2号房间的客人搬到4号房间 ，请3号房间的客人搬到6号房间 ，… ，如此下去，所有的奇数号房间全都腾出来了，新来的无穷多位客人都可以住进奇数号房间了。 利用一 一对应思想，我们可以解决具有“有规律而无限型”特征的问题，对培养和提高人们的逻辑思维能力和解决问题的能力大有益处。这类问题是各类数理竞赛中经常出现的题型。下面举两个例子，巧用一 一对应思想解答。 例1 . 计算 的值 分析：此式的结构是“有规律而无限型”的式子，可以用一 一对应思想解答。 解： 设 = x , 则 x 0 易知 与 x 可以建立一 一对应关系 。 所以 =x 则 2 + x = x2 解出 x = 2 或 x = －1 （舍） 所以 = 2 例2 . 计算的值为 解：分析：此式的结构是“有规律而无限型”的式子，可以用一 一对应思想解答。 设 x = , 则 x 0 易知 与 x 可以建立一 一对应关系 。 所以 即 x2+2x一1= 0 解得 ( 取正值 ) 则 = 例3 . 如图是一个无限电阻器网络，其中每个电阻器的电阻值都是r , 求图中A点与B之间的总电阻是多少 ？（1967年波兰华沙国际中学生物理竞赛题） （本题选自中国物理学会编《物理教学》1987年第4期第31页） 解： 由于电路图中无限多个电阻器网络排列具有“有规律无限型”的特征。 易知 A1与B1之间的无限电阻器网络电路和A2与B2之间的之间的无限电阻器网络电路 可以建立一 一对应关系，所以A1与B1之间的总电阻等于A2与B2之间的总电阻。 设A1与B1之间的总电阻== x 则据物理学知识 有 即 整理得 x2 + r x + r2 = 0 解出 x ( 舍负取正 ) 则A点与B之间的总电阻是= r + x = 这种解法比 中国物理学会编《物理教学》1987年第4期第31页的解法巧妙简捷易懂。