群论考试试题及答案.doc

一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群，陪集群和类。 本题书上可找到，略。 试写出平面正三角形对称群即二面体群D3群的所有群元。类分割和所含的所有子群，并且用其中一个子群写出D3群的左右陪集分割串。 解：D3={E,A,B,C,D,F} 其中，E：恒等操作 A：绕轴1旋转pai B：绕轴2旋转pai C：绕轴3旋转pai D：绕Z轴旋转2pai/3 F：绕Z轴放置4pai/3 子群：{E}、{E，A}、{E，B}、{E，C}、{E，D，F}、{E，A，B，C，D，F} 类：{E}、{A，B，C}、{D，F} 取H1={E，A}，则 DH1={D，C}，FH1={F，B}，故左陪集分割串为：{D，C}、{F，B} H1D={D，B}，H1F={F，C}，故右陪集分割串为：{D，B}、{F，C} 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。 首先，设所有实数S的集合为G，于是，集合对元素的加法运算是封闭的，数的加法满足结合律，实数0是此集合的恒元，-S仍是实数，它是S的逆元，因此，集合G构成群，称为实数加法群； 其次，设所有正实数R的集合为H，于是，集合对元素的乘积是封闭性的，数的乘积满足结合律，正实数1是此集合的恒元，R的倒数1/R仍为正实数，它是R的逆元，因此，集合H构成群，称为正实数乘法群； 最后，通过指数函数建立群H与G的元素一一对应关系，且这种关系对元素的乘积保持不变。 R=eS R’=eS’ RR’=eS+S’ 因此，群H与G同构。 证明由满足的A,B二元素生成的一个群，并写出其乘法表。 本题，老师课件上有原题，略。 简述什么是群表示，等价表示和不可约表示。 教材中有原述，略。 写出3阶置换群S3的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求出S3的所有共轭类所包含的元素（即S3的类分割）。 《群论》（徐慧）P25 对于任意一个n阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表示的维数为S1，S2， ，S9。试证明。 解： 正规表示中，元素E的特征标X（E）=n，而其它元素的特征标均为0。 证明：因为正规表示的维数等于群的阶g，当正规表示约化为一系列不可约表示的直和之后，其维数必然等于各个不可约表示维数之和，于是 正规表示的维数=n=∑不可约表示q的维数*出现次数 =∑Sq*Sq=∑Sq2 即S12+S22+……Sq2=n 由函数基，假设三维函数空间对下列二维空间转动变化保持不变，试计算变化R对应的标量函数变化算符PR在此函数基中的矩阵形式D(R):(1) (2) (3) 解： (1) (2) (3) 在同一乘法下集合H与K分别构成h阶群和k阶群，已知H和K除单位元外无相同元素，且H中每一个元素都与K中每一元素对易，证明：（1）两群的直积G=HK构成一个群，（2）H与K都是G的正规子群；（3）商群G/H与K同构；（4）G中类的数目等于H和K中类的数目的乘积。 证明：（1）设H={E，H2，……Hh}，K={E，K2，……Kk} 则G=H直积K={E，K2，K3，……Kk，H2，H2K2，H2K3……HhKk} 可得G中具有唯一单位元。 又因为H中每个元素与K中每个元素对易，故满足结合律。 任取G中的两个元素Hi,Kj,Hl,Km 则HiKj*HlKm=HiKjKmHl=HiKnHl=KnHiHl=KnHg∈G 故G满足封闭性。 又因为对于H中任一元素Hi，存在Hi-1∈H,使HiHi-1=E 而K中Kj也存在Kj-1使得KjKj-1=E 则HiKj-1∈G 则对于G中任一元素HiKj*Hi-1Kj-1=E 所以G中任一元素都存在逆元，故G构成一个群 （2）因为H、K的所有元素都在G中，且H、K都是在G乘法下的群，所以H、K为G的子群。 取Hi∈H,Kj∈K,则HiKj∈G,且HiKj=KjHi 对任意元素Kx,有： HiKj(Kx)(HiKj)-1=HiKjKxKj-1Hi-1=HiKyHi-1=KyHiHi-1=Ky 即HiKjKx=KyHiKj 所以K为G的正规子群。H的证明同理。 设H的陪集串为H，g1H，……giH，考虑其中任一陪集gH 首先，对于gH中任意元素gH，根据同态定义，有 即陪集gH对应于的一元素。 其次，设giH和gjH是陪集串中两个不同的陪集，根据同态定义，有 若，则 即giH与gjH重合，故陪集串中不同的陪集对应K中不同的元素 综上，商群G/H中的元素与K中元素一一对应，即G/H与K同构。 （4）由G的结构完全由H和K的结构决定，所以G的任两元素共轭的充要条件是它们在H和K内的分量是分别共轭的，所以G的每个类，其元素在H和K内的分量将分别构成H和K的类。反之，H的任一类与K的任一类的积都形成G的一个类，所以G中类的数目等于H和