重庆大学概率论习题一.doc

习题1 A组 1．试写出下列各随机试验的样本空间与事件： 检测产品质量，直到检测到两件次品为止，观察总的检验次数； A=“总的检验次数在20次以上”； 解：， 。 某超市上午9:00~10:00时间范围内进入超市购货的顾客数； A=“进入超市的顾客数在200人到400人之间”； B=“顾客数不多于500人”； 解：， ， 。 在一批电子元件中任取一只进行寿命试验； A=“电子元件寿命在1000小时以上”； B=“电子元件寿命不超过800小时”； 解：， ， 。 在区间[0, 1]内任取两数； A=“两数之和大于1”；B=“两数之差的绝对值小于”； 解：， ， 。 2．设为三事件，用的运算关系表示下列各事件。 1）发生，不发生； 2）都发生，而不发生； 3）至少有一个发生； 4）都不发生； 5）不多于两个发生； 6）至少有两个发生； 解：1）；2）；3）；4）；5）；6）。 3．设为三个事件，试化简下列事件： 1）； 2）； 3）； 4）； 解：1） 2） 3） 4） 4．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立。 1）； 2）； 3）； 4）； 5）若； 6）若，则。 解：1），故成立； 2），故不成立； 3）不成立； 4）成立； 5）成立； 6）成立。 5. 从1，2，3，4，5，6这六个数字随机取三个数字，以两种抽取方式：（1）无放回；（2）有放回；求下列事件的概率： 1）“最大的是4”； 2）“有2”； 3）“恰有两个小于4”； 4）“没有4”； 解：（1）无放回：1）；2）；3）；4） （2）有放回：1）；2）；3）；4） 6. 某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但是忘记了开房门的是哪两把，只好随机试开，问：用下列两种方式试开，此人在三次内能打开房门的概率是多少？ 1）试开后的钥匙不放回； 2）试开后的钥匙放回； 解：1）恰好在第一次打开：； 第二次打开（在第一次没有打开的基础上）：； 第三次打开（在前两次都没有打开的基础上）：。 最后是把这几次的数相加： 2）恰好在第一次打开：； 第二次打开（在第一次没有打开的基础上）：； 第三次打开（在前两次都没有打开的基础上）：。 最后是把这几次的数相加 7. 在40台空调中有3台次品，现不放回从中随机取3台，求下列事件的概率： 1）3台中恰有一台是次品； 2）3台中全是次品； 3）3台中至多有两台是次品； 4）3台中至少有一台的次品； 解：1）=0.2022； 2）=0.0001； 3）1减去三台都是次品的：1=0.9999； 4）1减去全部都是正品的：1=0.2136。 8．有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，现不放回地逐个测试，直到4只次品都找到为止。求最后一只次品在第1）5次抽试时被发现；2）10次抽试时被发现。 解：1）前4次中有三个次品，第5次肯定是次品，答案：； 2）最后一次肯定是次品。（即10次中某一次抽到次品的概率肯定是） 9. 将4个球随机放入5只杯子中，每只杯子容纳球数不限。求5只杯中最大球数为k的概率，。 解：设=“最大球数为”，，则 ， ， ， 最后， 10. 一个房间内有10个人。求下列事件的概率： 1）“没有两人生日相同”； 2）“他们的生日是同一天”； 3）“恰有3个人的生日是十月一日”（一年按365天计）； 解：1）； 2）； 3）。 11. 一袋中有m个黑球与n个白球。现从中不放回摸k个球，求摸出的k个球中至少有一个黑球的概率。 解：设“一个黑球都没有”，“k 个球中至少有一个黑球”，则 因为，故。 12. 在区间[0，1]中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。 解：样本空间为： 事件表示为： 画出几何区域，根据几个概率的定义，可计算事件的概率。 13. 将长为L的棒随机拆成三段，求三段能构成三角形的概率。 解：设棒的三段长度分别为 样本空间为：，即 事件表示为：， 画出几何区域，根据几个概率的定义，可计算事件的概率。 14．设随机事件的概率分别为0.4, 0.3, 0.6, 求。 解：因为 所以 15. 设。证明：。 证明： 16. 甲、乙两工厂共生产1000个零件，其中300个零件是由乙厂生产的，并且300个零件中有189个是标准品。现从1000个零件中任取一个。 求该零件是乙厂生产的标准品的概率； 如果已知该零件是已厂生产的，求它是标准品的概率。 解：1） 2） 17. 已知，求。 解：，，，，故 18. 某厂产品中有4