数学物理云游记之集总.docx

前言当人们习惯用知识爆炸来形容当代知识增长速度的时候，其中的潜台词既有无奈也有渴望。无奈于有限的时间和理解能力，但依然——哪怕只是出于好奇心——渴望更多地了解当代科学前沿。而成就这份渴望的障碍，无疑是现代数学和物理，尤其是那些重要但非常抽象的概念。它们俨然就如高山流水，能欣赏者甚寡。爱因斯坦说：宇宙最令人不能理解的地方，就是它居然是可以理解的。我等固然是做不成伟人，但理解伟人思想的能力相信总还是有的。本书既曰云游，当然是做不到教科书般严谨，甚而还有不少随笔之处。但所思所得，写下来或成几个台阶，也算离天近了几尺。数学正确并不能保证物理正确。绪论篇的内容，不少是值得商榷的。但这些的确是我思考的漫笔。其目的是企望引起读者的思考。绪论篇现象和本质透过现象抓住本质。这话在学生时代不知听过多少遍了，可就是一直没弄明白，究竟怎样才能够做到。断断续续地思考，许多年后，终于自觉有所领悟。关于现象和本质，经典的表述大体上都是这样的：现象是表面的、具体的、和易逝多变的，往往靠感官即能感知；本质则是隐藏在事物内部的、是事物一般的共同的方面、而且是相对稳定的，它往往只能依靠抽象思维来把握。左思右想，总觉云里雾里，难觅现象本质真迹。既有隔靴搔痒的难耐，更觉缺了点睛之笔。如果现象靠感官即能感知，那么是不是所感所见都是现象？既然把握本质依赖抽象思维，又该如何思考？通过下面的例子分析，来回答何谓现象，何谓本质这个问题。假定，有甲要用一头牛交换乙的五只羊，乙同意了甲的要求，最终甲乙实现了交换。在本例中，既可以看到甲和甲手中的牛；也能够看到乙和乙手中的羊。仔细想一想，这些是事实，可以回答“看到了什么”，但不能回答“看到了什么现象”这个问题。例如，你不能说“看到了甲和甲手中的牛现象”。也就是说，上述事实并不是现象。但除了上述的事实，我们还观察到交换的过程，观察到交换前后甲乙手中的物品发生了变化。你可以说：看到了交换的现象；看到了甲乙各自手中物品发生变化的现象。观察到的过程和过程前后发生的变化，才能称之为现象。简略地说，变化才是现象。那么，什么又是本质呢？继续分析上面的例子。我们需要想一想，甲乙怎么就能成交了呢？显然，只有甲和乙都不觉得吃亏才行。说得明白一点，甲认为一头牛值五只羊的价值，乙也同意这一点，于是成交变成了可能。我们来看一看，交换之后，虽然手中的物品发生了变化，但甲乙都认为手中物品的价值没有发生变化。这个不变的价值，就是交换过程的本质，人们把它总结为等价交换原则。变化之中保持不变的便是本质。简略地说，不变的是本质。于是我领悟，透过变化的现象发现不变的本质，是对“透过现象抓住本质”最简明的诠释，是一切称之为学问的理论中，贯穿始终的指导思想和方法。数学和物理，当然就是其中典型的代表。先来看一看数学的几个例子。将两个加数交换位置，虽然加法的式子变了，但加法的结果不变。这个不变的性质，称之为加法交换律。我们用消元法求解二元一次方程组，在这个过程中，方程组的形式发生了变化，但是方程组的解始终保持不变。在中学阶段学过的三角恒等式，则是一种典型的叫做恒等变换的例子。在恒等变换下，三角函数的计算结果保持不变。函数则是专门研究变换的一个典型。函数将一个数域（定义域）变换为另外某个数域（值域）。我们研究函数变换下保持不变的性质：单调性，研究的是变化趋势的不变性；对称性，研究对称操作下的不变性；可逆性，研究反向变换的不变性；周期性，则是自变量变化一个周期，函数值保持不变的性质。凡此种种，不难理解：数学是一门研究变换的学问，其实质就是通过数学变换（可理解为广义的数学运算）中保持不变量的把握来研究和认识对象的本质。再来看一看物理的特点。牛顿第二定律的核心是物体的质量不随其运动速度而发生变化。其结果，加速度与物体受力成正比。这个质量保持不变的性质，我们就称之为物体的惯性。两个质点的碰撞。虽然碰撞前后每个质点的动量发生了变化，但是你可以发现，碰撞前后两个质点动量总和却保持不变。这个总动量不变的性质，称之为动量守恒定律。我们知道能量守恒规律，其实就是运动过程中总能量保持不变的性质。总之，研究自然世界，就是要发现自然界的运动过程中那些保持不变的量，以及保持不变的关系，这些不变的量或关系，就是物理定律，就是自然规律。所以在思想方法上，物理和数学的实质是完全一样的。在结束本篇之前，我们指出，牛羊交换的例子中，还有一个重要的现象没有提及，那就是一头牛并不总是会交换到五只羊。如果同时观察许多对甲乙从事牛羊交换，或者观察不同时期牛羊交换，你会发现，一头牛究竟能交换到几只羊具有不确定性，但是统计的结果，你会发现其中有一个，比如一头牛换取五只羊，具有最大的可能性。也就是说，等价交换原则是一个统计性规律，在具体的交换过程中又体现出不确定性。这种确定性和不确定性的对立统一，是否是在自然界具有一定程度的普遍性？