曲面积分与曲面形状无关性.docx

文章编号:1006-5342(2000)03-0008-04曲面积分与曲面形状无关性宋永林Ξ(咸宁师范高等专科学校数学系,湖北咸宁437005)摘要:分析了曲面积分与曲面形状无关的第三种条件及其场论解释与应用.关键词:曲面积分;曲面形状;无关性;充分必要条件中图分类号:O171文献标识码:A1联想的希冀与Green公式相联系,能导出平面曲线积分与路径无关的三个充要条件;与Stokes公式相联系也能导出空间曲线积分与路径无关的三个充要条件,这两套程式的形态极为相似.与Gauss公式相联系,推导空间曲面积分与曲面形状无关的条件时好象与上述形态也应该一致.易于导出与上述形态一致的前两个充要条件:(1)ΠSV,λPdydz+Qdzdx+Rdxdy=0S(2)Π(x,y,z)∈V,5P+5Q+5R=05x5y5z似乎也应有下述的第三种充要条件:(3)Pdx+Qdy+Rdz是某调和函数u(x,y,z)的全微分.2辨析模糊命题若将(3)的充要性看作一个等待辨析的命题,则易见充分性成立.当(3)成立,即有函数u(x,y,z)满足du=Pdx+Qdy+Rdz,△u≡0,5u=P,5u=Q,5u=R,只要P、Q、R分别对x、y、z再次可导(这由u的调和性则必可记5x5y5z知已有保障),则必可由222△u=5u+5u+5u≡05x25y25z2以及5P52u5Q52u52u5R5x=5x2,5y=5y2,5z2=5zΞ收稿日期:1999-12-06修改日期:2000-04-18作者简介:宋永林(1943-),男,四川宜宾人,咸宁师专副教授.第3期宋永林曲面积分与曲面形状无关性9得出5P5Q5R5x+5y+5z≡0,于是再由(2)知κPdydz+Qdzdx+Rdxdy与曲面形状无关.S(3)的必要性怎样呢?下面举一反例,用以明示不能由(2)导出(3),也就足以说明(3)不是曲面积分与曲面形状无关的必要条件;同时,(1)与(3)能否等价等等也就不必再证.例1设A=zi-xz2j=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k5P+5Q+5R=divA显然满足5x5y5z2=5z-5(xz)≡0,5x5y即(2)已经成立,然而若设A能使(3)也成立,即是某函数u(x,y,z)的全微分时,则应满足Pdx+Qdy+Rdz5u5x=P=z,(4)5u25y=Q=-(5)xz,5u(6)5z=R=0;现分别将(4)、(5)、(6)对x、y、z积分得u=zx+φ(y,z)u=-xz2y+ψ(z,x)φ(y,z)是某个可以任意选取的函数,ψ(z,x)是某个可以任意选取的函数(7)(8)(9)u=χ(x,y)χ(x,y)是某个可以任意选取的函数因为(7)、(8)、(9)表示的是同一个函数u(x,y,z),故可令(8)≡(9),即-xz2y+ψ(z,x)≡χ(x,y),这就成了矛盾,因为式子两边的自变量个数不一致,而且ψ已被认定只能以z,x为其变量,χ已被认定只能以x,y为其变量.特别,取ψ(z,x)≡χ(x,y)≡0时,也形成矛盾式-xyz2≡0.3结论综合以上分析可得下列三条结论:(A)曲面积分与曲面形状无关Ζ(1)Ζ(2);(3)](2);(B)(C)(1)]/(3),(2)]/(3),曲面积分与曲面形状无关]/4场论解释似是而非的“等价条件(3)”不如所期的原因是,从数学结构上看问题,Gauss公式应用起来不同于Green公式和Stokes公式,在那些地方可以推出一些偏导数相等,而引用Gauss公式后(3).咸宁师专学报第20卷10却无法从(2)再推出什么有助于形成调和函数的式子.上述现象的场论解释是,(2)与(3)分别与截然不同的管形场及调和场相对应.事实上,当(2)成立时,若记A=Pi+Qj+Rk,则A是无源场,管形场;但是这并不保证有某个函数u(x,y,z)使得A=gradu(若然,就有divA=div(gradu=△u了).而场A即无源又无旋时称为调和场,这时必有u(x,y,z)使A=gradu.下边的命题就是理论依据.命题(文献362页)在单连域内“,场有势”(梯度场)“、场无旋”、“场保守”以及“表达式A·dl=Pdx+Qdy+Rdz是某个函数的全微分”这四者是等价的.回看例1,可以算出rotA=2xzi+j-z2k,即在空间的任意点(x,y,z)上rotA是恒不为0的,即例1中的A不可能是无旋场,从而可知zdx-xz2dy+0不可能表示某函数的全微分.我们不便说调和场是管形场的子场(物理学上从未见过这种说法),但是调和场对应的函数类的确是蕴含在与无源场对应的函数类之中的.5应用举例如上所述,辨明条件(3)以后就完整地把握了曲面积分与曲面形状无关的条件,而曲面积分与曲面形状无关性在理论与计算应用上均有重要价值.例如下面的例2就说明了这种