条件c_正规子群对有限群结构的影响.doc

 文章编号 :1000 - 2367 (2008) 05 - 0024 - 03 条件 c2正规子群对有限群结构的影响 郭静安 ,钟祥贵 (广西师范大学 数学科学学院 ,广西 桂林 541004) 摘 要 :称有限群 G 的子群 H 为 G 的条件 c2正规子群 ,如果 G 有正规子群 N 使得 H N D G , 且 H ∩N Φ H G . 利用群 G 的某些特殊子群的条件 c2正规性给出有限群为可解或超可解的若干充分条件 ,推广了相关文献中的一些 结果 . 关键词 :条件 c2正规子群 ;超可解群 ;可解群 中图分类号 :O152 . 1 文献标识码 : A 本文考虑的群均为有限 , 所用符号和术语均是标准的. 1996 年 , 王燕鸣在文献 [ 1 ] 中引入 c2正规子群的概念 . 此后 ,李德玉 、郭秀云[ 2 ,3 ] 就群的某些子群的 c2正 规性对有限群结构的影响进行了研究. 韦华全[ 4 ] 利用 Sylo w 子群的极大和极小子群的 c2正规性对包含超可 解群系的饱和群系进行了研究 ,得到了此类群系的一些充分条件 . 在文献 [ 5 ] 中 ,郭秀云和 K. P. Sh um 利用 群的 Sylo w p 2子群的极大和极小子群的 c2正规性获得了有限群为 p 2幂零群或超可解群的若干充分条件 . M . Ra ma da n ,M . E. Mo ha med a nd A . A . Heliel [ 6 ] 利用群的素数幂阶子群的 c2正规性研究了有限群的 p 2幂 零性. 本文试图削弱子群的 c2正规性条件 ,引入如下比 c2正规子群更加广泛的条件 c2正规子群 . 定义 1 设 H 是有限群 G 的一个子群 ,如果 G 有正规子群 N 使得 H N D G ,且 H ∩ N Φ H G ,则称 H 为 G 的条件 c2正规子群或者说 H 在 G 中是条件 c2正规的. 记为 H t c G . 显然 ,c2正规子群是条件 c2正规子群 ,反之不然. 事实上 ,对于对称群 S 4 ,它含有一个正规子群 K4 ,设 H 是 S4 的 Sylo w 32子群 ,则可知 K4 H = A 4 D S4 , H ∩ K4 = 1 ,所以 H tc G ,但 H 不为 G 的 c2正规子群. 引 理 1 引理 1 设 G 为有限群 , H 为 G 的子群 ,那么 (1) 如果 H Φ K Φ G 且 H t c G ,则 H t c K ; (2) 如果 T D G 且 T Φ H ,则 H t c G 当且仅当 H / T t c G/ T . 证明 (1) 由引理条件 , H t c G ,即存在 G 的正规子群 N ,使得 H N D G ,且 H ∩ N Φ H G . 由于 K ∩ N D K ,有 ( K ∩ N ) H = K ∩ ( H N ) D K ,且 H ∩ ( K ∩ N ) = H ∩ N Φ H G Φ H K ,即 K 中存在一个 正规子群 K ∩ N ,使得 ( K ∩ N ) H D K ,且 ( K ∩ N ) ∩ H Φ ,故 H t c K . ∩ N Φ H G . 于是 N T / T D G/ T , H K (2) 若 H t c G ,则存在 G 的一个正规子群 N ,使得 H N D G ,且 H ( N T / T) ( H/ T) = H N / T D G/ T ,且 ( N T / T) ∩ ( H/ T) = ( N ∩ H) T/ T Φ H G T / T Φ ( H/ T) G/ T , 故 H/ T t c G/ T . 反之 ,若 H/ T t c G/ T , 则存在 G/ T 的 一个 正 规子 群 S / T , 使得 ( S / T) ( H/ T) D G/ T , 且 ( S / T) ∩ ( H/ T) = ( S ∩ H) / T Φ ( H/ T) G/ T . 显然 S D G , S H D G ,且 S ∩ H Φ ,故 H t c K . H G 引理 2 设π是一个素数集合 , T 是 G 的一个正规π′2子群 , H 是 G 的π2子群 ,如果 H tc G ,则 H T / T t c G/ T . 证明 对 | G | 用归纳法. 假定 T1 为 G 的任意极小正规π