超市收银台最优数量的设置.docx

第34卷第2期数学理论与应用Vol．34No．22014年6月MATHEMATICALTHEOＲYANDAPPLICATIONSJun．2014超市收银台最优数量的设置＊李金慧袁欣桐胡玥李梅刘晨辉郭云飞(延边大学理学院数学系，延吉，133002)摘要本文运用排队论理论对超市多个M/M/1/∞/∞的排队系统进行研究，将M/M/s/∞/∞与多个M/M/1/∞/∞进行对比，然后通过对结果进行对比分析、参赛的灵敏度分析，确定出收银台的最佳数量．关键词排队论多个M/M/1M/M/s收银台TheBestAmountofCashierDesksinSupermarketsLiJinhuiYuanXintongHuYueLiMeiLiuChenhuiGuoYunfei(MathematicsDepartment，Collegeofscience，YanbianUniversity，Yanji133002，China)AbstractInthispaperthemultipleM/M/1/∞/∞queuingsystemsinsupermarketsareanalysedwiththequeuingtheoryandcomparedwiththeM/M/s/∞/∞queuingsystems．Upontheanalysisthebestamountofcashierdesksisthendeterminedbyfindingouttheparametersofthequeuingsystems，comparingtheresultsandmakingsensitivitya-nalysisontheparameters．KeywordsQueuingtheoryMultipleM/M/1M/M/sCashierdesk引言1排队论是研究系统由于随机因素的干扰而出现排队或拥塞现象的规律性的一门学科．凡事具有公共服务性质的事业，就会出现拥挤现象，此为排队论的用武之地，利用排队论知识，人们便可以找出其中规律，从而对此进行科学化管理．二十世纪初，丹麦工程师爱尔朗(Erlang)用概率论方法研究了电话通话问题，从而开创了排队论这门学科［1］．张建航等用蒙特卡罗模拟的方法初步解决了排队理论M/M/1模型［2］宋振峰等研究了M/M/s模型的仿真方法［3］．以往的论文都将超市服务模型看成M/M/s，即多服务台单队列模型，这是不符合实际的，而本文将其看成实际中的多服务台多队列，即多个M/M/1的超市服务模型，区别于以往的多服务台单队列(M/M/s)模型，并将它们对比分析．通过对某大型超市的实地调查，并调查顾客收稿日期:2014年5月9日＊超市收银台最优数量的设置125的可接受等待时间，从而确定出了其收银台的最佳数量．M/M/s/∞/∞和s个M/M/1/∞/∞的对比2例［4］某售票处有三个窗口，顾客的到达为Poisson流，平均到达率为λ=0．9人/min;服务(售票)时间服从负指数分布，平均服务率μ=0．4人/min．现设顾客到达后排成一个队列，λ一次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个M/M/s/∞系统，其中s=3，ρ==2．μλ25，ρs==0．75．sμ在本例中，如果顾客的排队方式变为到达售票处后可到任意窗口前排队，且入队后不再换队，即可形成三个队列．这时，原来的M/M/3/∞系统实际上变成了由三个M/M/1/∞子系统组成的排队系统，且每个系统的平均到达率为:=λ3=0．3(人/min)．=λ2λ1表1项目M/M/33个M/M/1空闲概率P0顾客必须等待的概率平均队长L平均排队长Lq平均逗留时间W平均等待时间Wq0．25(每个子系统)0．759(整个系统)2．25(每个子系统)10(min)7．5(min)0．07480．573．951．74．39(min)1．89(min)M/M/3/∞的情况在［4］中已经给出了详细的解答，我们需要的是三个M/M/1/∞的算法，这对下面的收银台数目的确定帮助很大．根据排队理论可得各参数的计算公式如下:(1)售票处空闲的概率λ2．25P0=1－sμ=1－=0．25．3(2)每个子系统平均排队长2?λ?sλ2=2．25(人)．Lq==μ?μ－λ?s(sμ－λμ)2s(3)每个子系统的平均队长2．25λ=3(人);L=Lq+sμ=2．25+3整个系统的平均队长L=sL=3×3=9(人)．126数学理论与应用(4)每个顾客平均的等待时间λs0．9λ=7．5(min)．Wq===μ?μ－λ?23×0．16－0．4×0．9sμ－μλs(5)每个顾客的平均逗留时间LLs=3×3=10(min)．W==λλ0．9s(6)每个顾客到达时必须排队等待的概率λλp0c?1，λ?=sμ0．9×0．25p===0．75．1!?1－λ?0sμ