06-07微积分BII期末(答案)浙江大学城市学院.doc

诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2006—2007学年第二学期考试试卷 《 微积分（B）》. 解：； 　　　　　记，得通解：， 　　　　　由，得，所以微分方程特解为 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使“分家”，变成：形式，然后积分。本题还要注意的变化。 2.求解微分方程 . 解: , 点评：　本题为典型的一阶线性微分方程，这类方程只要记住公式： 　　　　　　 　注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有了。如果这个公式不能记住，那下学期只好跟着唐老师重修了。 3.求解微分方程 . 解：　设，得， 　　　 即　　 通解为：　 点评：对可降阶的三种二阶微分方程如何求解问题必需掌握。另外注意二阶微分方程的通解中一定有二个不可合并的任意常数，否则拜托，一定有错！ 得分 二.向量与空间解析几何问题(本大题共 4 题,每题 5 分，共 20分) 设向量 ，求，并求。 ，＝ 点评：如果连，，，的夹角等都不会求，那恐怕不是重修的问题了。 2．求直线与平面的交点，并求经过点且与垂直的直线方程。 解：　解方程即可得交点， 令，得代入 得：，，交点为， 所求直线的一个方向即平面的一个法向：， 因此经过点且与垂直的直线方程为： 　　　　　　　　 　点评：平面的点法式方程和直线的点向式方程是二个最基本的问题，必需会做。另外，千万看清是求直线方程还是求平面方程，二者不要混淆了（每年大概有２０%同学会混淆） 3.方程是什么图形，求该方程与轴在第一卦限的交点，并求经过的平面方程。 解：　此图形乃椭球面也。 将代入得点坐标， 同理可得点坐标为，点坐标为 　　所求平面方程为： 点评：本题题目稍有欠缺，因为轴不可能在第一卦限，似乎应将第一卦限改为正轴较好。但这也不影响对问题的理解。学了空间解析几何，几个常见的曲面：球面，椭球面，抛物面，各类柱面，旋转面（包括怎么旋转得到）等它们的方程总应该记记牢，另外平面的截距式方程似乎也是很容易记住。 　4．将直线的一般式方程化为点向式方程与参数方程。 解：　曲线上取一点，直线的一个方向： 　　 点向式方程：；　　　参数方程： 　点评：习题册上一模一样的题目占30%，你复习时总要看看的。 得分 三．多元函数微分学问题(本大题共 5 题，每题 5 分，共 25 分) 设, 求. 　　　　解：　，　　　　　　 　点评：送分题。只要一元微积分的导数会求，那么对某个变量的偏导数就是将其他变量当作常数来求导就行了，注意偏导数的四种记号都要熟悉，这可不是“茴香豆的茴字有四种写法”。 设，求。 解：　 ，＝ 点评：求是幂指函数的求导问题，在求导之前先对函数采用变换，可是老生常谈了。 设，其中具有二阶连续偏导数，求 解： 点评：　多元复合函数求导的链式法则，只要记号弄清楚，没难度可言 设求 解：　记 　　　 　　　 点评：公式套套。只要记住隐函数求导的公式就可以毫不费力解此题 5.求曲面在点处的切平面方程与法线方程. 解：　 　　 在处切平面的一个法向 　切平面方程：即 　法线方程：。 点评：　曲面的切平面方程与法线方程.，空间曲线的切线与法平面方程求法如果没记牢的话再去记一记。 得分 四.重积分问题 (本大题共 4题，每题 5 分，共 20分) 求，D由与所围。 　　　　 点评：求二重积分的关键是画出积分区域，然后应用公式。此题是书中P107页7(5)原题。书中的题目也要做做的。 2．计算二重积分， 其中由与直线所围成. 见习题册p40页(4) 3．求由旋转抛物面与所围立体的体积。 答案见书中P105例2. 4．求三重积分,其中是与所围的空间区域. 解：（其中为平面区域 　　 得分 五．曲线积分与曲面积分问题 (本大题共3题，每题5分，共 15 分) 求第一类曲线积分，其中是沿抛物线从到的曲线. 解：曲线的参数方程： 　 点评：第一类曲线积分计算的关键是将积分曲线参数化，然后再套公式。 计算第一类曲面积分，其中为锥面及平面所围成的 区域的边界曲面。 解：　习题册p50页2(2), 计算第二类曲线积分，其中为先沿直线从点到点，然后再沿直线到的折线。 习题册p5１页2(2), 得分 六．应用题或证明题 (本大题每题5分，共 10 分) 某马戏团的演出场是由帆布围成的（自顶至地面），外形是开口向下的旋转抛物面，其方程为 （地平面对应，单位为），若帆布的价格是，计算要搭建这样的演出场，帆布的成本应为多少？ 解： 　 　　　成本应为 2．在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。（提示：设是到直线的距离，求的最小值等价于求的最小值）。 解：点到直线距离平方