2017届中考数学总复习-第二编　中档题型突破专项训练篇 中档题型训练(六)　圆的有关计算证明与探究.doc

中档题型训练(六)　圆的有关计算、证明与探究 命题规律：圆的有关计算与证明是青海(西宁)中考的必考内容，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明题的形式出现较多，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系． 命题预测：预计2017青海(西宁)中考会以解答题的形式考查此知识，应强化训练． 　与圆有关的性质 【例1】(2016潍坊中考)正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G.求证： (1)四边形EBFD是矩形； (2)DG＝BE. [来源:Zxxk.Com] 【学生解答】证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFD＝∠BCD＝90°，又∵DF∥BE，∴∠EDF＋∠BED＝180°，∴∠EDF＝90°，∴四边形EBFD是矩形；(2)∵正方形ABCD内接于⊙O，∴所对的圆心角是90°，∴∠AFD＝45°，∵∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠DFG＝45°，∴DG＝DF，在矩形EBFD中，BE＝DF，∴DG＝BE. 【解析】注意同弧或等弧所对的圆心角、圆周角之间的转化． 1．(2016上海中考)已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.[来源:学科网ZXXK] (1)求证：AD＝CE； (2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD.求证：四边形AGCE是平行四边形． 证明：(1)在⊙O中，∵＝，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠ABC＝∠EAC，又∵BD＝AE，∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE；(2)连接AO并延长，交边BC于点H，∵＝，OA是半径，∴AH⊥BC，∴BH＝CH.∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG，由(1)知BD＝AE，∴CG＝AE，又∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．[来源:Z.xx.k.Com] 2．(2016广安中考)如图， AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB＝90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G. (1)求证：E是AC的中点； (2)若AE＝3，cos∠ACB＝，求弦DG的长． 解：(1)连接AD，∵AB为⊙O的直径，∠CAB＝90°，∴AC是⊙O的切线，又∵DE与⊙O相切，∴ED＝EA，∴∠EAD＝∠EDA，而∠C＝90°－∠EAD，∠CDE＝90°－∠EDA，∴∠C＝∠CDE，∴ED＝EC，即E为AC的中点；(2) 由(1)知，E为AC的中点，则AC＝2AE＝6，∵cos∠ACB＝，∴sin∠ACB＝＝.在Rt△ACD中，AD＝AC·sin∠ACB＝6×＝2.在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAF＝AD·sin∠ACB＝2×＝，∴DG＝2DF＝. 　切线的性质与判定[来源:学科网] 【例2】如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC.[来源:学科网] (1)求证：∠AEC＝90°； (2)试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)若DC＝2，求DH的长． 【学生解答】解：(1)连接OC，∵EC与⊙O切于点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE＝90°，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴＝＝，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AE∥OC(内错角相等，两直线平行)，∴∠AEC＋∠OCE＝180°，∴∠AEC＝90°；(2)四边形AOCD是菱形．理由如下：由(1)得＝，∴∠DCA＝∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA＝OC，∴?AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)；(3)连接OD，∵四边形AOCD是菱形，∴OA＝AD＝DC＝2，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD＝2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH＝2DF.在Rt△OFD中，sin∠AOD＝，∴DF＝ODsin∠AOD＝2sin60°＝，∴DH＝2DF＝2. 3．(2016广安中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点且与BC边交于点E.点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CF＝4，DF＝，求⊙O的半径r及sinB.[来源:学科网ZXXK] 解：(1)连接AO、DO.∵点D为CE的下半圆弧的中点，