二项式定理教学设计-二项式定理.doc

二项式定理 教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析； ⑵ ⑶的各项都是次式， 即展开式应有下面形式的各项：，，，，， 展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是， ∴． 二、讲解新课： 二项式定理： ⑴的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项： ，，…，，…，， ⑵展开式各项的系数： 每个都不取的情况有种，即种，的系数是； 恰有个取的情况有种，的系数是，……， 恰有个取的情况有种，的系数是，……， 有都取的情况有种，的系数是， ∴， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，⑶它有项，各项的系数叫二项式系数， ⑷叫二项展开式的通项，用表示，即通项． ⑸二项式定理中，设，则 三、讲解范例： 例1．展开． 解一： ． 解二： ． 例2．展开． 解： ． 例3．求的展开式中的倒数第项 解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项， ． 例4．求（1），（2）的展开式中的第项． 解：（1）， （2）． 点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同 例5．（1）求的展开式常数项； （2）求的展开式的中间两项 解：∵， ∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为； （2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项， ， 例6．（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数及二项式系数 解：的展开式的第四项是， ∴的展开式的第四项的系数是． （2）∵的展开式的通项是， ∴，， ∴的系数，的二项式系数． 例7．求的展开式中的系数 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解：（法一） ， 显然，上式中只有第四项中含的项， ∴展开式中含的项的系数是 （法二）： ∴展开式中含的项的系数是． 例8．已知 的展开式中含项的系数为，求展开式中含项的系数最小值 分析：展开式中含项的系数是关于的关系式，由展开式中含项的系数为，可得，从而转化为关于或的二次函数求解 解：展开式中含的项为 ∴，即， 展开式中含的项的系数为 ， ∵， ∴， ∴ ，∴当时，取最小值，但， ∴ 时，即项的系数最小，最小值为，此时． 例9．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1）证明展开式中没有常数项；（2 解：由题意：，即，∴舍去） ∴ ①若是常数项，则，即， ∵，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若是有理项，当且仅当为整数， ∴，∴ ， 即 展开式中有三项有理项，分别是：，， 例10．求的近似值，使误差小于． 解：， 展开式中第三项为，小于，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴， 一般地当较小时 四、课堂练习： 1.求的展开式的第3项. 2.求的展开式的第3项. 3.写出的展开式的第r+1项. 4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开： （1）；（2）. 6.化简：（1）；（2） 7．展开式中的第项为，求． ．展开式的中间项 答案：1. 2. 3. 4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数 5. （1）； （2）. 6. （1）； （2） 7. 展开式中的第项为 8. 展开式的中间项为 五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）