《抽样技术》第二章-简单随机抽样.ppt

样本均值分布的正态近似 对有限总体的不放回抽样，哈杰克（Hajek）在1960年给出了样本均值 的分布趋于正态的充分条件。一般地，当n≥30时可认为 。 置信区间 现假定 ，给定置信度1?α，可得均值 和总值Y的置信区间： 当n 50时，tα/2(n?1)可由uα/2代替。 例2 为估计某中学300名新生的平均身高，从中抽取了10名进行测量，得数据（单位：厘米）为158, 149, 156, 153, 160, 151, 157, 145, 152, 159。试问是否求得出平均身高的置信区间？如何求？ 解 例3 下页表列出美国1940年197个城市的居民数，分别按下述抽样方案估计197个城市的居民总数，请算出估计量的标准差： (1)容量为50的简单随机样本； (2)含有5个最大的城市。并从其余192个城市中抽出容量为45的简单随机样本； (3)含有9个最大的城市，并从其余188个城市中抽出容量为41的简单随机样本。 组 距(千人) f 组 距(千人) f 组 距(千人) f 50~100 105 550~600 2 …… 100~150 36 600~650 1 1500~1550 1 150~200 13 650~700 2 …… 200~250 6 700~750 0 1600~1650 1 250~300 7 750~800 1 …… 300~350 8 800~850 1 1900~1950 1 350~400 4 850~900 2 …… 400~450 1 900~950 0 3350~3400 1 450~500 3 950~1000 0 …… 500~550 0 1000~1050 0 7450~7500 1 城市大小的频数分布 *例4 为了估计学校上月用于教学的开支，从学校的2389项开支中抽取185项，得一简单随机样本。经分析，185项中有160项与教学有关。用z表示这160项开支的数值（单位：千元），经计算 试求学校上月用于教学的总开支的点估计、标准误估计和0.95置信区间。 解 令 0.95置信区间： *例5 通常可以认为Y1是很小的，YN是很大的。1972年萨伦达尔（Sarndal）检验了下述 的估计量 其中c是一个常数。证明萨伦达尔的结果： (1) 是无偏的； (2) 。 证明 (1)令 (2)提示 §2.3 总体比例的估计 设总体容量为N，其中具有某一特征的单元数为A，总体比例为P=A/N。现从总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，又设样本中具有某一特征的单元数为a，样本比例为p=a/n。 定理4 样本比例p=a/n是总体比例P=A/N的无偏估计。 证明 令 推论6 是A的无偏估计。 定理5 p的方差是 其中Q=1?P。 《抽样技术》第二章 王学民 编 第二章 简单随机抽样 §2.1 简单随机抽样的概念 §2.2 总体均值（或总值）的估计 §2.3 总体比例的估计 §2.4 样本容量的确定 §2.5 逆抽样 §2.1 简单随机抽样的概念 一、简单随机抽样的定义 二、简单随机抽样的抽选 三、符号和定义 一、简单随机抽样的定义 简单随机抽样——从容量为N的有限总体中抽取n个单元，使得所有不同的样本每一个被抽中的概率相等。所得的样本称为简单随机样本。 共有 个不同的样本，每一个样本被抽中的概率 为 。任一个单元被选入样本的概率均为n/N。 但不能将“每一个单元被选入样本的概率皆相等”作为简单随机抽样的定义。 实践中，简单随机抽样一般是通过不放回地逐个从总体中等概率抽取单元来实现的，故通常将其称为不放回的简单随机抽样。 若抽样是有放回地逐个等概率抽取的，则称为放回的简单随机抽样。 当n/N很小时，放回与不放回的抽样几乎给出相同的结果。在实际应用中，一般都采用不放回抽样。 例2.1 设总体有5个单元（1, 2, 3, 4, 5），按放回简单随机抽样的方式抽取2个单元，则所有可能的样本为25个（考虑样本单元的顺序）： 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, 5 二、简单随机抽样的抽选 首先将容量为N的有限总体中的所有单元从1到N编好号码，然后从这N个编号中抽取n个。 具体的抽取方式一般有：