1-4平面方程.ppt

第四节 一、平面的点法式方程 例1.求过三点 说明: 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 特殊情形 例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 三、两平面的夹角 特别有下列结论： 例7. 一平面通过两点 例10. 设 内容小结 * 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第一章 ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 量 则有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:这三点不能共线 此式称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 分析:平面过三点的方程为: 按第一行展开得 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其法向量为? 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 这个题目求解不完整 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 回忆两向量夹角公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意分子加了绝对值 因此有 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 相交,平行,垂直,重合 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 解: 外一点,求 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 两平面间的距离? 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 平面过三点的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:这三点不能共线 * * * * *