11-附录A.ppt

§A.1 静矩和形心 一、静矩 静矩是面积与它到轴的距离之积。 * dA x y y x O 二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。) dA x y y x 等厚均质 质心： 等于形心坐标 o [例1] 试确定下图的形心。 解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a) 80 120 10 10 x y C2 图(a) C1 C1(0,0) C2(-35,60) 2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 图(b) C1（0,0） C2（5,5） C2 负面积 C1 x y 同理 § A .2 惯性矩和惯性半径 二、惯性矩：(与转动惯量类似） 惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。 dA x y y x r 一、极惯性矩： 极惯性矩是面积对极点的二次矩。 O dA x y y x r O 三、极惯性矩与惯性矩的关系 四、惯性半径 惯性半径 dA x y y x r 惯性积：面积与其到两轴距离之积。 如果 x 或 y 是图形的对称轴， 则Ixy =0 O §A .3 惯性积 [例2] 求矩形截面对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy 。 解 取一平行于x轴的窄长条，其面积为dA＝bdy，则由惯性矩的定义，得 同理可得 因为x、y轴均为对称轴，故Ixy＝0。 [例3] 求图示直径为d的圆对过圆心的任意轴(直径轴)的惯性矩Ix，Iy，及对圆心的极惯性矩IP。 解 首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为 处作宽度为 的薄圆环，其面积为 则圆截面对圆心的极惯性矩为 由于圆形对任意直径轴都是对称的， 故Ix＝Iy。可得 Ix＝Iy＝ §A.4 平行移轴公式 平行移轴公式：（与转动惯量的平行移轴公式类似） 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图 dA x y y x r a b C xC yC o 注意: C点必须为形心 [例4] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。 解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。 B 建立形心坐标如图，求图形对形心轴的惯性矩。 A d x y O circle A [例5] 求图示截面图形对过形心C的x、y轴的惯性矩。 解 为求Ix、Iy将组合图形分割为两个矩形I和Ⅱ。组合截面的惯性矩应为各组成部分的惯性矩之和。 同理 应用平行移轴公式，有 代入上式得 §A.5 转轴 公式·主惯性轴 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x a x1 y1 x1 y1 o 二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到?= ?0 时；恰好有 与 ?0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主惯性轴之惯性矩称为主惯性矩。 2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩 形心主惯性矩： 3.求截面形心主惯性矩的方法 ① 建立坐标系 ② 计算面积和面积矩 ③ 求形心位置 ④ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤ 求形心主轴方向 — ?0 ⑥ 求形心主惯性矩 [例6] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。 (b=1.5d) 解： ① 建立坐标系如图。 ② 求形心C的位置。 ③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy C d b 2d x y O xC yC x1 C d b 2d x y O xC yC x1 * * * * *