11讲 函数与方程.doc

第函数与方程 1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(xD)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(xD)的零点． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 3．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误为函数点． 2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示． 所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． [试一试] 1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　) A．0,2　　　　　　　　　　B．0， C．0，－ D．2，－ 解析：选C　2a＋b＝0， g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)． 零点为0和－. 2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 答案：B 1．函数零点个数的判断方法． (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 2．三个等价关系(三者相互转化) 3．用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε； 第二步：求区间(a，b)的中点c. 第三步：计算f(c)； 若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0(a，c))； 若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0(c，b))． 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步． [练一练] (2014·中山模拟)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 解析：选C　f′(x)＝ex＋10， f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数． 而f(－2)＝e－2－40， f(－1)＝e－1－30， f(0)＝－10， f(1)＝e－10， f(2)＝e20， f(0)·f(1)0. 故(0,1)为函数f(x)的零点所在的一个区间． 考点一 函数零点所在区间的判定 1.函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：法一：f(1)＝12－3×1－18＝－200， f(8)＝82－3×8－18＝220， f(1)·f(8)0， 又f(x)＝x2－3x－18，x[1,8]的图像是连续的， 故f(x)＝x2－3x－18，x[1,8]存在零点． 法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0， x[1,8]，(x－6)(x＋3)＝0. x＝6[1,8]，x＝－3[1,8]， f(x)＝x2－3x－18，x[1,8]存在零点． 答案：存在 2．(2014·保定调研)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　　　B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：选B　法一：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f(1)＝－10，f(2)＝log320，所以函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内． 法二：作出函数y＝log3x与y＝－x＋2的图像(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B. 3．(2013·朝阳模拟)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析：选C　由条件可知f(1)f(2)0，即(2－2－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，解得0a3. [类题通法] 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时