4-4坐标系与参数方程(引言).ppt

* 引 言 数学选修4—4这一专题的内容 为“坐标系”和“参数方程”。 坐标系是坐标法思想得以实现 的平台，是解析几何的基础，学生 学习极坐标系，柱坐标系，球坐标系等不同的坐标系，可以丰富对 坐标系的认识，体会不同坐标系在刻画，几何图形或描述自然现象上的特点，从而学会如何选择适当的坐标系，建立的方程更加简单，研究更加方便。 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。 （假定当时声音传播的速度为340m/s,各相关点均在同一平面上） 怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题呢?这就是我们 这本书第一讲的重点。 根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标方法。 y x B A C P o 我们可以通过建立如图 双曲线来解决这个问题，通 过建立合理的坐标系我们发 现问题迎刃而解（问题的具 体分析在第一讲中） 极坐标系是第一讲的重点。 我们知道在直角坐标系中,点与有序 实数对(x, y)是一一对应的关系,而 在极坐标系中，也会是这种关系吗? 不是的,通过本书的学习,我们会认 识到用极坐标与直角坐标来表示点与 直线时,它们之间的区别是: (1)在平面直角坐标系中，点 与有序实数对(x , y)是一一对 应的关系;在极坐标系中,虽 然一个有序实数 对只与一 个点对应,但一个点却可以和 无限多个有序实数对对应。 (2)在平面直角坐标系中，曲 线和它的方程是一一对应的关系； 在极坐标系中,虽然一个方程只能 和一条曲线对应有序实数但一条曲 线却可以和多个方程对应。例如, 方程 和 表示同一个圆 和 （n为非负零整数， 可取负值）表示同一条曲线,但是它们之间不可互化,所以曲线和它的极坐标方程不是一一对应的关系。 (3)在平面直角坐标系中,曲线上的任意点的坐标一定适合它的方程；在极坐标系中,曲线上的点的所有坐标不一定都适合方程。 (4)在直角坐标系中,求两曲线的公共点,只要求出它们的方;程的公共解即可。 在极坐标中,一般来说,通过解 极坐标方程组也能得到两曲线的 公共点,但有时方程组的公共解 不能给出两曲线的全部交点 例如：求等速螺线 与 直线 的交点的极坐标。 解方程组, 只能得到一个交点 ,但实际 上它们的交点有无数个 , 它们可以通过解方程组 而得到,另外极点也是它们的交点 因为极点的坐标为（0, ） （其中 可取任何实数）,当极点的 极坐标取（0,0）时,它满足方 程 ;当极点的极坐标取 时,满足方程 ,所以极点 也是它们 的交点。 在第二讲中,我们讨论了曲线的参数方程。 在平面上取定直线坐标系，设有曲线C及参数方程 其中参数 在[a , b]上变化, 都是在 [a , b] 上的单值连续函数, (1) 如果曲线C上的点与参数方程 （1）的解建立了如下对应的关系: a.对于每个适合条件 的 , 通过参数方程（1）所确定的点 在曲线C上; b.对于曲线C上任意一点 都至少存在一个 有 则(1)式叫 做曲线C在直角坐标系中的参数方程。