4.2(方差).ppt

第四章 随机变量的数字特征 数学期望作为随机变量的一种数字特征，在一定程度上反映了随机变量的大小，但在实际中，有时仅用数学期望即平均值来衡量随机变量的大小是不够的。 例如考察两组队员的年龄时，两组队员的年龄如下 甲组队员年龄： 2 58 乙组队员年龄： 28 32 第四章 随机变量的数字特征 4.2 方 差 怎样去度量随机变量的可能值与期望值的偏离程度呢？ 用E[X – E(X)]来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消； 用E[|X – E(X)|]来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算； 通常用E{[X – E(X)]2}来描述随机变量与均值的偏离程度． 4.2.1 方差的概念与计算 定义4.3 设X是随机变量，若E{[X – E(X)]2}存在，则称其为X的方差，记为D(X) (或Var(X))，即 称 为X的标准差． 特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为 则 如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则 将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得 即 今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方差D(X). 4.2.2 方差的性质 (1) 设c是常数，则D(c) = 0； (2) 设c是常数，X是随机变量，则 D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)； (3) 设X，Y是两个随机变量，则有 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}； 特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)； (4) D(X) = 0的充要条件是X以概率1取常数c，即P{X = c} = 1． 4.2.2 方差的性质 (1) 设c是常数，则D(c) = 0； 证明： (2) 设c是常数，X是随机变量，则 D(cX) = c2D(X)，D(X + c) = D(X)； 证明： 4.2.2 方差的性质 (3) 设X，Y是两个随机变量，则有 D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E{[X – E(X)][Y – E(Y)]}； 特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有 D(X + Y) = D(X) + D(Y)； 证明： 当X，Y是相互独立的随机变量时， 4.2.2 方差的性质 性质(4)证明从略. 由性质(2)和(3)容易推广得到，若X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量， 为常数，则 4.2.3 常用的随机变量的方差 【例】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求D(X)． 解：X可视为n重伯努利试验中某个事件A发生的次数，p为每次试验中A发生的概率． 引入随机变量Xi（i = 1，2，…，n）： 则 又 因为X1，X2，…，Xn相互独立，且 由数学期望和方差的性质可得 【例】设随机变量X服从参数为λ（λ 0）的泊松分布，求D(X)． 解：由于X的分布律为 ，k = 0，1，2，…， 在前面已经求出 ，下面计算E(X 2)： 故 【例】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求D(X)． 解：由于均匀分布的概率密度为 所以 【例】设随机变量X服从参数为?（? 0）的指数分布，求D(X)． 解：由于指数分布的概率密度为 在前面已求出 ， 故有 【例】设随机变量X服从正态分布 求D(X)． 解：设 ，由于 所以Z～N(0，1)，从而 又E(Z) = 0，所以 故 【例】设(X，Y)的概率密度为 求D(X)及D(Y)． 解：记D：| y | x，0 x 1，如图，则 , 【例】已知随机变量X的概率密度为 又E(X) = 0.5，D(