GK投影.doc

高斯-克吕格地图投影正算公式 已知一点的大地坐标为，其中经度为纬度为，高斯投影时为减小长度变形，是在分带内进行投影，也就是我们常说的6度带或3度带，所有投影均是在每个分带内相对于分带中央的子午线和亦道线进行的，其中分带中央子午线称为投影带的中央子午线，若其经度为，则正算公式中使用的经度为相对于的经度差，即 式中中央子午线经度若以6度带为例则其计算方法为 式中为取整运算，即取出的整数部分，为便于计算上式中使用的角度均以弧度为单位，因此6度角和半个6度角均先转成弧度。 由于是在分带内进行投影，若将最后计算结果放到统一的高斯直角坐标系中，则最终要将计算结果加上投影带中央子午线的高斯直角坐标，即 式中为大地椭球的长半轴。考虑到上述转换关系，则由和计算统一高斯直角坐标的公式为（矿区控制测量（上册） 张凤举 需要注意的是对应的是南北方向，对应的是东西方向，并且和的单位均使用弧度。此外，计算式中为亦道至纬度处的子午线弧长，为卯酉圈曲率半径，两者的计算公式在后面进行说明，另外两个参数和与地球参数和纬度的关系式为（矿区控制测量（上册） 张凤举 式中为地球第二偏心率，可由地球椭球半长轴和扁率计算得到（椭球参数间的关系见后面地球椭球的相关说明），即 且 其中为地球短半轴。 亦道至纬度处的子午线弧长的计算公式为（矿区控制测量（上册） 张凤举 式中， 且 卯酉圈曲率半径的计算公式为（矿区控制测量（上册） 张凤举 与地图投影相关的地球椭形模型 由于地球本身的不规则性，虽然可以用椭球模型作为其数学模型，但对具体地区一般需要采用一个与本国领土密合较好的椭球作为测量计算的基准面，目前国际上已经有的模型及与其对应的区域之间的关系如下表所示：（矿区控制测量（上册） 张凤举 扁率 北 美 克拉克 1866 6 378 206 1 : 294.98 南美及欧洲 海福特 1910 388 297.00 前 苏 联 克拉索夫斯基 1940 245 298.30 印 度 埃弗瑞斯 1830 6 377 276 300.80 日 本 白塞尔 1841 397 299.15 澳大利亚 1967年参考系 1967 6 378 160 298.247 非 洲 克拉克 1880 249 293.47 第16届国际大地测量协会推荐值 1975 140 298.257 第17届国际大地测量协会推荐值 1980 137 298.257 从表中可以看出椭球模型一般是以长半轴和扁率两个参数给出的，在实际使用中还会用到与椭球相关的其它参数，它们的计算公式可以表示如下（矿区控制测量（上册） 张凤举 第二偏心率 短半轴 长半轴 扁率 克拉索夫斯基及75椭球高斯正算公式 由于椭球参数不同，因此前面给出的高斯投影正算公式在具体计算上也会有所不同，目前资料上常见的是将克拉索夫斯基和75椭球代入并进行简化其中的常数运算得到直接使用的公式，文献中一般称为电算公式，下面将这两套公式给出以便于查找使用。 采用克拉索夫斯基椭球的正算公式：（大地测量学基础 王佩贤 式中 采用1975年国际椭球的正算公式：（大地测量学基础 王佩贤 式中（式中第二个系数原书有误，另各常数精度不是很高，程序验算结果列在后面） 程序验算得到的参数计算式为 任意椭球参数下高斯投影正算电算公式参数求取 首先给出适用于电算的高斯投影正算公式及其参数与椭球模型参数间的关系，利用这些结果代入椭球参数即可以得到如同上一节中使用的克拉索夫斯基椭球和75椭球对应的电算公式。电算公式可以表示为 式中系数计算式可表示为 每个系数中的常数分别可以通过将椭球参数代入下面式子计算出来， 中用到的常数计算式为 ，，， 式中 且 且 中用到的常数计算式为 ，， 中用到的常数计算式为 ， 中用到的常数计算式为 ，， 中用到的常数计算式为 ，，， 中用到的常数计算式为 ，，，， 下面来推导上面的结果，首先将计算式表示为 其中，对进行整理，则有 对照，有 及 再对照，有 ，，， 再看的表示式，即 提出有 对中括号中后两项再提出有 对照，有 及 表示式中代入和，则有 再对照，则有 表示式中代入和，则有 再对照，则有 下面处理的表示式 提出有 对中括号中后两项再提出有 对照，有 及 表示式中代入和，则有 再对照，则有 表示式中代入和，则有 再对照，则有 最后来处理的计算式，对比 有