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分析时代 在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。 一、微积分的继续发展 微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor,1685-1731）、麦克劳林（C.Maclaurin，1698-1746）、棣莫弗（）、斯特林（J. Stirling）等。 泰勒与麦克劳林（Brook Taylor，1685.8.18－1731.12.29, 英格兰；Colin Maclaurin，1698－1746,苏格兰） 泰勒出生于英格兰一个富有的且有点贵族血缘的家庭，全家人（尤其是其父）都喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家．这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的两个主要研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来． 1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习，显示出数学方面的才华．他曾继哈雷之后担任皇家学会第一秘书，也许是为了把更多时间用于研究，也许是对这一比较受约束的工作不感兴趣，三十四岁时他以健康理由辞去这一职务． 1721年泰勒同一据说出身名门但没有财产的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，只好离开家庭，两年后妻子因难产死去，才又回到家里．1725年在征得父亲同意后第二次结婚，其后继承了父亲的部分财产．1730年第二个妻子也在生产中死去，但生下了一个女儿伊莉莎白．妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去世了． 我们熟知的泰勒展开式： 是泰勒1715年发表的．当时他没有考虑到收敛性，也没有引起多大注意．一直等到1755年，由欧拉和拉格朗日应用于自己的工作之后，泰勒级数的重要性才被确认． 泰勒对数学发展的贡献，实际要比一条以他命名的定理大得多．他涉及的、创造的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊．他的工作过分简洁抽象难以追随．家庭影响、生活的不幸、健康不佳以及其他一些无法估量的因素（如牛顿与莱布尼茨的微积分发明权之争，阻隔了英国与欧洲大陆的数学交流）影响了他不太长的生命中的数学创造． 麦克劳林展开式不过是泰勒展开式当 时的特殊情形，而且这种情形已由泰勒明确指出，但历史还是开了个玩笑，人们将这作为一条独立的定理而归于麦克劳林． 不过，对才华横溢的数学家麦克劳林来说，这也算是一种补偿吧．我们在《线性代数》中学到的克莱姆法则被冠以瑞士数学家克莱姆的大名，其实麦克劳林比克莱姆要早几年发表这个定理，不过这种张冠李戴的事情在数学史乃至科学史上是屡见不鲜的． 麦克劳林是一位数学上的奇才，他十一岁就考上了格拉斯哥大学．十五岁取得了硕士学位，并且为自己关于重力作功的论文作了非常出色的公开答辩．十九岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系，并于二十一岁发表其第一本重要著作《构造几何》，他二十七岁成为爱丁堡大学数学系教授的代理和助理．当时要给助理支付薪金是有困难的，是牛顿私人提供了这笔花费，才使该大学能得到一位如此杰出的青年人的服务．麦克劳林恰好继承了他所助理的教授．为了答复贝克莱大主教对微积分学原理的攻击，他发表了关于流数法的第一篇符合逻辑的、系统的解说著作《流数论》．麦克劳林的主要贡献在几何学和应用数学上，可惜他只活了48岁．他在逝世前，要求在他的墓碑上刻上“曾蒙牛顿推荐”几个字． 推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布·伯努利（）和约翰·伯努利两兄弟担当。他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进步是归于欧拉（）。他于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，对分析表述的规范化起了重要作用。此外，法国学派的代表人物克莱洛（）、达朗贝尔（）、拉格朗日（）、蒙日（）和勒让德（）等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。 18世纪的这些数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。约翰·伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教材中求函数积分的常用方法。 当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们正在打开一片新天地。事实上他们已经进入了后来所谓的“椭圆积分”领域。在这一领域，法尼亚诺（G