勾股数与无穷递降法.doc

勾股數與無窮遞降法 在直角三角形中，如果兩條直角邊的邊長為x和 y，，。 這就是有名的勾股定理，如果要求直角三角形的三邊的長都是整數，實質上便是勾股方程的整數解問題。滿足到勾股方程的正整數 叫做勾股數組，如果勾股數組滿足，稱為基本勾股數組（或勾股方程的本原解）。、、、…等等都是基本勾股數組。 如果是一勾股數組，則 （k是正整數）亦是一勾股數組。相反，如果是一勾股數組，但不是基本的，那麼，)就是基本勾股數組。 這就是說，只要我們求出了勾股方程的所有本原解，就即是解決了勾股方程。因此我們研究勾股方程時通常都只會考慮它的本原解。關於勾股方程的本原解有下面兩個主要的定理。 定理一 : 若是勾股方程的本原解，則x和y不能同是奇數，也不能同是偶數。 證明 : x和y不能同是偶數是顯然的，因為若它們同是偶數，則z也必然是偶數，那麼x, y和 z至少有公約數2，矛盾。以下證明x和y不能同是奇數。 首先注意到奇平方數被4除餘1，z應為偶數），則被4除餘2，是4的倍數，矛盾。 證畢 註 : 由定理一可知z必定是一個奇數。 定理二 : 勾股方程的本原解（其中x為偶數）的通解是 其中、、m和n一奇一偶。 證明 : 由於x是偶數，y和z是奇數，則和都是偶數，於是可設，。 ， 。 (1) 可得，。，，，， ， 。 n必定一奇一偶。 反之，若, , , ，m, n。 必定是本原解。若，。 , 得知 , ， , ，且，矛盾。 證畢 至此，我們知道凡是符合條件的一組m, n，，都必定存在滿足到條件的正整數m, n使得, , 。 ，，，、、m和n一奇一偶。 這樣三角形的面積是 。 , n, 中任意兩個數皆互質，所以若是平方數，則m, n, 分別都是平方數。於是我們可設, , （注意到滿足到勾股方程），得知， 其中a, b是正整數、、、a和b一奇一偶。 ， 是一個平方數。 這樣我們從一個滿足到題設的直角三角形出發，得到另一個更加小且同樣滿足題設的直角三角形，用同樣的方法可以無窮地遞降下去，矛盾。所以滿足到題設的直角三角形不存在。 證畢 上例所用的方法叫做無窮遞降法，其思路如下 : 先假定方程存在一組正整數解，從這組解出發，設法找出另一組更小的正整數解，如此無窮遞降下去必然產生矛盾，從而知道一開始所假定的正整數解不存在。 為了更清楚無窮遞降法的運用，我們再看一例。 例二 : 求證 : 方程沒有正整數解。 證明 : 假設方程有正整數解(x, y, z)，那麼在方程的所有解中，必有一組解使z的值最小。 首先我們證明和互質。 若和有一個相同的素因數（質因數） p， ， 。也是方程的一組解，這與的最小性矛盾，因此和互質，於是就是勾股方程的本原解，所以可設 其中m, n是正整數、、、m和n一奇一偶。 從得知m是奇數且n是偶數，由於 ，都是平方數（因為m和互質），, ， ， 這樣, 和也是勾股方程的本原解，所以又有 其中, , a和 b一奇一偶。 由於，,，， 也是原方程的解，留意到，的最小性矛盾，從而方程程沒有正整數解。 證畢 從上例可知，方程也沒有正整數解，沒有正整數解）。 2 第 三 頁，共 七 頁