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金融工程 Chap6 B-S 期权定价模型 B-S 定价的基本思路 为什么要研究证券价格的变化过程？ 期权是其标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价格（股票）的波动，期权价格受到标的资产价格的影响。期权定价使用的是相对定价法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定价首先必须研究证券价格变化规律。在了解了标的资产价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。 6.1 证券价格的变化过程 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为 　 、方差率为 的 Ito 过程来表示： 效率市场假说 效率市场的三个层次： 1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。 随机过程(Stochastic Process) 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。 根据时间是否连续：离散/连续时间随机过程 根据变量取值范围是否连续：离散/连续变量随机过程 从严格意义上说，证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程，为了研究方便，我们可以把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。 马尔可夫过程（Markov process） 该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。 布朗运动 悬浮微粒不停地做无规则运动的现象叫做布朗运动。 是微观分子热运动造成的宏观现象。 布朗运动在金融市场的应用 布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。 维纳过程是马尔科夫过程（Markov process）的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。 20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。 但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。 维纳过程的性质 [z (T ) – z (0)]的均值等于 0 [z (T ) – z (0)]的方差等于T [z (T ) – z (0)] 的标准差等于 Ito 引理 如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 泰勒展开式 忽略比Dt高阶的项 在常微分中，得到： 在随机微分中得到： 因为最后一项的阶数为Dt Ito 引理 变量x和t的函数G也遵循Ito 过程： 　 　 根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： 证券价格自然对数变化过程 令 　由于证券价格对数G遵循普通布朗运动,且： B-S期权定价模型-1 B-S微分方程及其推导过程： 　 假设 f 是依赖于S 的衍生证券的价格，则： B-S期权定价模型-2 为了消除 的影响，构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则： B-S期权定价模型-3 在没有套利机会的条件下： 　因此： 这就是著名的B-S微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价 B-S期权定价模型-4 风险中性定价原理 假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解B-S微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 P124的例子 B-S期权定价公式：假设条件 1.证券价格遵循几何布朗运动,