2 线性齐次偏微分方程【知识点提示】.pdfVIP

§ 2 线性齐次偏微分方程 【知识点提示】 一阶线性齐次偏微分方程通解的结构；相应初值问题的求解。 【重、难点提示】 利用特征求解线性齐次偏微分方程的通解。 【教学目的】 通过本节的教学，使学生掌握一阶线性齐次偏微分方程通解的结构，并能用 特征线法求解相应的初值问题的解。 【教学内容】 第二节 线性齐次偏微分方程 2.1. 通解的结构 2.2. 初值问题 2.1 通解的结构 首先，我们介绍具有如下形式的线性齐次偏微分方程 n u A x x x 0 (2.1)  (   )  i 1 2 n i 1 xi 假定系数 A A A 是自变量x x x 的已知函数, 它们在(x x x ) 空间 1 2 n 1 2 n 1 2 n 的某个区域内是连续可微的, 并且不同时为零. 偏微分方程(2.1)对应的特征方程为 dx dx dx 1 2  n  (2.2) A A A 1 2 n 根据常微分方程理论建立的初积分概念及特征的定义, 可以看出, 偏微分方程(2.1)的解与特 征方程组(2.2) 的初积分密切相关. 要求出线性齐次偏微分方程(2.1)的一个特解, 只要求得 常微分方程组(2.2) 的一个初积分就行了. 例 1 求一阶线性齐次偏微分方程 u u u x 2y z 0 x y z 的解. 解 对应的特征方程是 dx dy dz  x 2y z 可求出初积分 x y c  xz c , 所以函数 1 1 2 2 u1 x y u2 xz 都是方程的解. 我们知道如果  c (i 12n 1) 是方程组(2.2)的初积分, 那么对于任意连续可 i i 微函数, 显然(   ) c 也是方程组(2.2) 的初积分, 因而 1 2 n1 u (   ) 也是方程(2.1)的解.