后来，艾狄胥发现他的定理只不过是拉姆西(R.doc

L博學多聞， S是他的學生。他們常在一起討論數學。某天… L：我可以證明，台東市一定有兩個人頭髮一樣多！ S：這我也可以。L：說說看！ S：至少有兩個光頭嘛！ L：你會把化為小數嗎? S：嘿！簡單啊！ L：試試看吧！ S：就除一除嘛，L：那你能不能解釋為什麼一定可以化為循環小數?S：我是可以算出來啦，只是我不懂你所說的解釋到底是什麼意思? L：其實廣義的講應該這麼說，任意的分數都可以化為循環小數或有限小數，只是舉為例罷了。 S：嗯…那就有點麻煩…L：我問你，5隻鴿子飛回鴿籠，如果鴿籠只有4個，則有一個鴿籠裡會至少會有兩隻鴿子。這句話你相信嗎？ S：那當然，想也知道。可是循環小數這問題和鴿子有關係嗎？ L：當然有關係，這個看起來理所當然的原理，在數學上稱作鴿籠原理（Pigeonhole Principle），也稱抽屜原理，是十九世紀德國數學家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet 1805-1859)提出來的，所以也有人稱它為Dirichlet（抽屜）原理。 鴿籠原理1：若鴿子數比鴿籠數目還多，則存在某一個籠子裡面至少有兩隻鴿子。 證明：假設有隻鴿子和個鳥籠，如果沒有一個籠子有兩隻鴿子，即每一個籠子裡至多有一隻鴿子，那麼個鳥籠總共只有隻鴿子，則與假設矛盾。 ( 鴿籠原理2：若有()隻鴿子飛進個鴿籠裡，那麼一定有一個鴿籠中至少有隻鴿子。 證明：若這個鴿籠中沒有一個有隻鴿子，即每一個鴿籠中至多有隻鴿子，則這個鴿籠裡至多有隻鴿子，則與假設矛盾。 ( 鴿籠原理2比鴿籠原理1更有一般性，原理1只是原理2的一個特例，因為當時，原理2就是原理1。 S：所以說，如果台東市人口超過10萬人，而每個人的頭髮最多1萬根，就至少有11個人的頭髮會一樣多囉？ L：聰明！再看一個鴿籠原理的簡單應用；在一個房間裡有3個人，鴿籠原理指出有兩人是同為男生或同為女生。在這個例子中，鴿子指的是這3個人，而籠子指的是男生或女生。既然鴿子數比籠子數還多，一定有兩隻鴿子在同一個籠子裡，也就是說，必有兩人同性別。 S：那麼，為什麼一定可以化為循環小數呢？L：因為餘數一定小於除數，所以你把3除以14，多除幾次，就14次吧，假如餘數都不相同，則餘數是1,2,3,…13中的幾個；但是鴿籠原理說，這是不可能的，其中一定至少有兩個餘數相同，所以餘數相同的地方就產生循環！ 利用我們在小學學過的除法可求得整數除以整數的各個小數位數，就以為例： 令各階段所得的餘數為；由於每個階段的餘數皆小於除數，因此，… 如果除以的結果不是有限小數，那麼、、、…是一個不含0的無窮數列，根據鴿籠原理，由1至這個數中，必有某數在此數列中出現了無窮多次〈相當於無窮多隻鴿子，個籠子的情形〉。假設，則在至間由除法求得的商的位數將無窮盡地循環下去，由此可知所得的商一定是循環小數。 ( 問題1 小美、小宏姊弟參加男女混合羽球賽，已知有29個隊伍參加比賽，比賽採單循環制。教練在比賽中發現，任何時候都至少有兩隊賽完了相同的場次，請問這是特例呢？或是只要單循環比賽皆有此特性？試給予正確的答案並說明之。(中學生通訊解題11期0,1,2,…,28場共29種。但當有一隊比賽28場，也就是每一隊都和它比賽過了，故不會有另一隊比賽0場。相反地，若有一隊比賽場次為0，則沒有一隊和它比賽，故不會有另一隊伍比賽28次。所以，在一次單循環賽中，真正能出現的場次只有28種，卻有29個隊伍，由鴿籠原理知必有兩隊賽完相同的場次。 ( 一般而言，不論有幾隊參賽，只要是單循環賽，則在賽程中的任何時候皆有兩隊賽完相同的場次。 類題 某個房間裡有六個人，每個人可能跟任何其他人握手(也可能全不握)。證明這六個人中必有某兩人分別與相同數目的其他人握過手。 鴿籠原理在數學上常被用來證明某些事物存在的必然性，也就是存在性問題。所謂「至少有一個」就是「存在一個」，即存在一個至少有兩隻鴿子的鳥籠，至於是第幾號鳥籠裡，究竟飛進多少隻鴿子，這都無關緊要，只要「至少有兩隻鴿子的鳥籠」存在著就可以了。 鴿籠原理本身看起來相當簡單而理所當然，實際應用上卻常讓初學者有知易行難的感覺；用鴿籠原理解決問題的關鍵在於確認鴿子及鳥籠。因為只有把鳥籠確定了，才能確定鴿子放置的情況，從而才能進行應有的討論，所以在解題時，關鍵點就是怎樣製造鳥籠。此外，要用鴿籠原理證明任何問題，還必須具備鴿子比鳥籠多的條件才行。下面兩個例子，用鴿籠原理比用其他方法更能得到簡短的證明。 問題2 任意1000個整數中，一