2012 自主招生“华约”数学试卷解析( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ).pdfVIP

智浪教育-普惠英才 2012 自主招生“华约”数学试卷解析 随着各大考场2 月11 日下午五点半铃声的响起，2012 年“华约”自主招生考试终于落 下了帷幕。 连续三年的“华约”联盟考试AAA 测试，都是由考试院来出题和阅卷，因此学 而思自主招生研究中心数学学科之前的讨论便预期到今年的考试形式会进一步向全国高中 数学联赛靠拢，并且考试的题型、风格、难度都不会有太大变化，但是今年的题目虽然没有 超出大家的预料，但是依旧让所有的老师们大跌眼镜。 今年，“华约”的选择题依旧是10 道，涉及的也是和以前一样的知识点：三角、函数、 数列、复数、立体几何、解析几何、平面几何、组合问题，不过根据部分考生的感觉，比去 年更难，但是拿到题目后，我们发现和去年的难度持平，可能由于进一步向竞赛的思想靠拢， 所以众多没有接触过竞赛的考生非常的不适应。 比如今年的一道组合计数的题目便是有6 个棋子，分别是红色和蓝色的车、马、炮，将 他们排成一列，使得任何一个棋子的左边的红色棋子不少于蓝色棋子，请问有多少种排列方 式，我们知道如果不计算红色和蓝色棋子的区别，那么这就是组合数学里非常经典的一个问 题：Catalan数，这是一个三阶形式，并不难，就算是枚举法，也能做出来。再比如，今年 还有一道选择题涉及到了一个数列的平方和的最大值问题，我们知道如果和相等的时候，肯 定是相差越大那么平方和越大，这也是竞赛里一个常用的不等式思想，用“微调法”很快便 得到了证明。最后，立体几何的空间角的大小比较则是可以直接通过选择题中的“特殊值” 法轻松解决。 通过上面的举例，我想很多接触过数学竞赛的学生们会发现“华约”自主招生的考试已 经明显向数学竞赛倾斜，但是其赤裸裸的方式让笔者实在是大失所望。 今年的多位考生表示，看完数学和自然科学的试卷后，直接决定数学就花1 小时，安心 做好自然科学即可，这也看出了大家对于数学试卷的绝望，而非常优秀的学生在处理数学试 卷中的5 道大题也就能做出其中的3 到4 道左右而已，下面我们便为大家带来两道大题的一 个解答： 2 3 n x x x 请证明：方程 在 为偶数的时候没有实数根，在 为奇数 1x    0 n n 2! 3! n! 的时候有且仅有一个实数根 2 3 n x x x n 证明：记f x 1x    ，我们对 使用数学归纳法证明加强命题： n   2! 3! n! f x 0 n n 方程 n   在 为偶数的时候在实数上恒大于零，在 为奇数的时候在实数上严格单调 递增并且可以取遍所有的实数 1. 当n 1,2 的时候，直接验证，结论显然成立 2. 当n k 1的时候结论成立，那么n k 的时候 2 3 k x x x     f x f x ① 是偶数的时候，f x 1 x ， ，那么由归 k k   k   k 1  