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高三数学复习单元讲座 函 数 西安高新一中 党效文 一、本章知识结构： 二、高考要求 （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。 ③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。 四、复习建议 1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质 ①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系； ②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆； ③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练； ④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性； ⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。 2. 以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法 ①数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题； ②建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。 3. 深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系 要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围没有的内容例如指数不等式（方程）、对数不等式（方程）等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。 所谓函数思想，实质上是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。 五、典型例题 例1. 设，则= 。 解：由=0，解得 例2．已知函数和定义在R上的奇函数，当x0时，，试求的反函数。 解： 例3. 已知函数是奇函数，又，求a、b、c的整数值。 解：由，又由，从而可得a=b=1；c=0 例4. ⑴已知，求 ⑵在上的最小值为；试写出的解析式。 解：⑴， （） ⑵ 例5. 已知函数，若的最大值为n，求的表达式。 解： 例6.设是R上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求a的取值范围。 解； 故为所求。 例7. 设。（1）证明在上是增函数； （2）求及其定义域 解：（1） 任取，且 是增函数， 在上是增函数 （2）；定义域R，值域（－1, 1） 反解： 例8. 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，． （1）试求的值； （2）判断的单调性并证明你的结论； （3）设，若，试确定的取值范围． （4）试举出一个满足条件的函数． 解：（1）在中，令．得： ． 因为，所以，． （2）要判断的单调性，可任取，且设． 在已知条件中，若取，则已知条件可化为：． 由于，所以． 为比较的大小，只需考虑的正负即可． 在中，令，，则得． ∵ 时，， ∴ 当时，． 又，所以，综上，可知，对于任意，均有． ∴ ． ∴ 函数在R上单调递减． （3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子． ， ，即． 由，所以，直线与圆面无公共点．所以， ． 解得：． （4）如． 例9. 关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为 . 解：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈